Theorem ptopn2 21387

Description: A sub-basic open set in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptopn2.a	|- ( ph -> A e. V )
ptopn2.f	|- ( ph -> F : A --> Top )
ptopn2.o	|- ( ph -> O e. ( F ` Y ) )

Assertion

Ref	Expression
ptopn2	|- ( ph -> X_ k e. A if ( k = Y , O , U. ( F ` k ) ) e. ( Xt_ ` F ) )

Distinct variable groups:   ph, k   A, k   k, F   k, V   k, Y

Allowed substitution hint:   O( k)

Proof of Theorem ptopn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptopn2.a	. 2 |- ( ph -> A e. V )
2		ptopn2.f	. 2 |- ( ph -> F : A --> Top )
3		snfi 8038	. . 3 |- { Y } e. Fin
4	3	a1i 11	. 2 |- ( ph -> { Y } e. Fin )
5		ptopn2.o	. . . . . 6 |- ( ph -> O e. ( F ` Y ) )
6	5	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> O e. ( F ` Y ) )
7		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( k = Y -> ( F ` k ) = ( F ` Y ) )
8	7	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( k = Y -> ( O e. ( F ` k ) <-> O e. ( F ` Y ) ) )
9	6, 8	syl5ibrcom 237	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( k = Y -> O e. ( F ` k ) ) )
10	9	imp 445	. . 3 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ k = Y ) -> O e. ( F ` k ) )
11	2	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( F ` k ) e. Top )
12		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. ( F ` k ) = U. ( F ` k )
13	12	topopn 20711	. . . . 5 |- ( ( F ` k ) e. Top -> U. ( F ` k ) e. ( F ` k ) )
14	11, 13	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> U. ( F ` k ) e. ( F ` k ) )
15	14	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ -. k = Y ) -> U. ( F ` k ) e. ( F ` k ) )
16	10, 15	ifclda 4120	. 2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k = Y , O , U. ( F ` k ) ) e. ( F ` k ) )
17		eldifn 3733	. . . . 5 |- ( k e. ( A \ { Y } ) -> -. k e. { Y } )
18		velsn 4193	. . . . 5 |- ( k e. { Y } <-> k = Y )
19	17, 18	sylnib 318	. . . 4 |- ( k e. ( A \ { Y } ) -> -. k = Y )
20	19	iffalsed 4097	. . 3 |- ( k e. ( A \ { Y } ) -> if ( k = Y , O , U. ( F ` k ) ) = U. ( F ` k ) )
21	20	adantl 482	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { Y } ) ) -> if ( k = Y , O , U. ( F ` k ) ) = U. ( F ` k ) )
22	1, 2, 4, 16, 21	ptopn 21386	1 |- ( ph -> X_ k e. A if ( k = Y , O , U. ( F ` k ) ) e. ( Xt_ ` F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   ifcif 4086   {csn 4177   U.cuni 4436   -->wf 5884   ` cfv 5888   X_cixp 7908   Fincfn 7955   Xt_cpt 16099   Topctop 20698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ixp 7909  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-top 20699  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  ptcld  21416