Theorem ptcld 21416

Description: A closed box in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptcld.a	|- ( ph -> A e. V )
ptcld.f	|- ( ph -> F : A --> Top )
ptcld.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ptcld	|- ( ph -> X_ k e. A C e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )

Distinct variable groups:   ph, k   A, k   k, F   k, V

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem ptcld

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptcld.c	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) )
2		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. ( F ` k ) = U. ( F ` k )
3	2	cldss 20833	. . . . 5 |- ( C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) -> C C_ U. ( F ` k ) )
4	1, 3	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C C_ U. ( F ` k ) )
5	4	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) )
6		boxriin 7950	. . 3 |- ( A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) -> X_ k e. A C = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
7	5, 6	syl 17	. 2 |- ( ph -> X_ k e. A C = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
8		ptcld.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
9		ptcld.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> Top )
10		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Xt_ ` F ) = ( Xt_ ` F )
11	10	ptuni 21397	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) )
12	8, 9, 11	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) )
13	12	ineq1d 3813	. . 3 |- ( ph -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = ( U. ( Xt_ ` F ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
14		pttop 21385	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
15	8, 9, 14	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
16		sseq1 3626	. . . . . . . . . . 11 |- ( C = if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) -> ( C C_ U. ( F ` k ) <-> if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) ) )
17		sseq1 3626	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. ( F ` k ) = if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) -> ( U. ( F ` k ) C_ U. ( F ` k ) <-> if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) ) )
18		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C C_ U. ( F ` k ) /\ k = x ) -> C C_ U. ( F ` k ) )
19		ssid 3624	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( F ` k ) C_ U. ( F ` k )
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C C_ U. ( F ` k ) /\ -. k = x ) -> U. ( F ` k ) C_ U. ( F ` k ) )
21	16, 17, 18, 20	ifbothda 4123	. . . . . . . . . 10 |- ( C C_ U. ( F ` k ) -> if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) )
22	21	ralimi 2952	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) -> A. k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) )
23		ss2ixp 7921	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
24	5, 22, 23	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
25	24	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) )
26	12	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) )
27	25, 26	sseqtrd 3641	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) )
28	12	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. ( Xt_ ` F ) = X_ k e. A U. ( F ` k ) )
29	28	difeq1d 3727	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) )
31		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
32	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) )
33		boxcutc 7951	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) ) -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) )
34	31, 32, 33	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) )
35		ixpeq2 7922	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) -> X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) )
36		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) )
37	36	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = x -> U. ( F ` k ) = U. ( F ` x ) )
38		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = x -> C = [_ x / k ]_ C )
39	37, 38	difeq12d 3729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> ( U. ( F ` k ) \ C ) = ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. A /\ k = x ) -> ( U. ( F ` k ) \ C ) = ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) )
41	40	ifeq1da 4116	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. A -> if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) )
42	35, 41	mprg 2926	. . . . . . . . 9 |- X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) )
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) )
44	30, 34, 43	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) )
45	8	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A e. V )
46	9	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> F : A --> Top )
47	1	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. A C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) )
48		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x C e. ( Clsd ` ( F ` k ) )
49		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k [_ x / k ]_ C
50	49	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) )
51	36	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = x -> ( Clsd ` ( F ` k ) ) = ( Clsd ` ( F ` x ) ) )
52	38, 51	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = x -> ( C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) <-> [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) ) )
53	48, 50, 52	cbvral 3167	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. A C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) <-> A. x e. A [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) )
54	47, 53	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) )
55	54	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) )
56		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- U. ( F ` x ) = U. ( F ` x )
57	56	cldopn 20835	. . . . . . . . 9 |- ( [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) -> ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) e. ( F ` x ) )
58	55, 57	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) e. ( F ` x ) )
59	45, 46, 58	ptopn2 21387	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) e. ( Xt_ ` F ) )
60	44, 59	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) )
61		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- U. ( Xt_ ` F ) = U. ( Xt_ ` F )
62	61	iscld 20831	. . . . . . . 8 |- ( ( Xt_ ` F ) e. Top -> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) <-> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) /\ ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) ) ) )
63	15, 62	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) <-> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) /\ ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) ) ) )
64	63	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) <-> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) /\ ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) ) ) )
65	27, 60, 64	mpbir2and 957	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
66	65	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
67	61	riincld 20848	. . . 4 |- ( ( ( Xt_ ` F ) e. Top /\ A. x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
68	15, 66, 67	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( U. ( Xt_ ` F ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
69	13, 68	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )
70	7, 69	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> X_ k e. A C e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   [_csb 3533   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   U.cuni 4436   |^|_ciin 4521   -->wf 5884   ` cfv 5888   X_cixp 7908   Xt_cpt 16099   Topctop 20698   Clsdccld 20820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ixp 7909  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-top 20699  df-bases 20750  df-cld 20823

This theorem is referenced by:  ptcldmpt  21417