Theorem relexp0eq 37993

Description: The zeroth power of relationships is the same if and only if the union of their domain and ranges is the same. (Contributed by RP, 11-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexp0eq	|- ( ( A e. U /\ B e. V ) -> ( ( dom A u. ran A ) = ( dom B u. ran B ) <-> ( A ^r 0 ) = ( B ^r 0 ) ) )

Proof of Theorem relexp0eq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexp0g 13762	. . 3 |- ( A e. U -> ( A ^r 0 ) = ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) )
2		relexp0g 13762	. . 3 |- ( B e. V -> ( B ^r 0 ) = ( _I |` ( dom B u. ran B ) ) )
3	1, 2	eqeqan12d 2638	. 2 |- ( ( A e. U /\ B e. V ) -> ( ( A ^r 0 ) = ( B ^r 0 ) <-> ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) = ( _I |` ( dom B u. ran B ) ) ) )
4		dfcleq 2616	. . . 4 |- ( ( dom A u. ran A ) = ( dom B u. ran B ) <-> A. x ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) )
5		alcom 2037	. . . . 5 |- ( A. y A. x ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> A. x A. y ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) )
6		19.3v 1897	. . . . 5 |- ( A. y A. x ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> A. x ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) )
7		ax6ev 1890	. . . . . . . . 9 |- E. y y = x
8		pm5.5 351	. . . . . . . . 9 |- ( E. y y = x -> ( ( E. y y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) <-> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( E. y y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) <-> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) )
10		19.23v 1902	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) <-> ( E. y y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) )
11		19.3v 1897	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) )
12	9, 10, 11	3bitr4ri 293	. . . . . . 7 |- ( A. y ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> A. y ( y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) )
13		pm5.32 668	. . . . . . . . 9 |- ( ( y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) <-> ( ( y = x /\ x e. ( dom A u. ran A ) ) <-> ( y = x /\ x e. ( dom B u. ran B ) ) ) )
14		ancom 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y = x /\ x e. ( dom A u. ran A ) ) <-> ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) )
15		ancom 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y = x /\ x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) )
16	14, 15	bibi12i 329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y = x /\ x e. ( dom A u. ran A ) ) <-> ( y = x /\ x e. ( dom B u. ran B ) ) ) <-> ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
17	13, 16	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( ( y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) <-> ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
18	17	albii 1747	. . . . . . 7 |- ( A. y ( y = x -> ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) ) <-> A. y ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
19	12, 18	bitri 264	. . . . . 6 |- ( A. y ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> A. y ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
20	19	albii 1747	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
21	5, 6, 20	3bitr3i 290	. . . 4 |- ( A. x ( x e. ( dom A u. ran A ) <-> x e. ( dom B u. ran B ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
22	4, 21	bitri 264	. . 3 |- ( ( dom A u. ran A ) = ( dom B u. ran B ) <-> A. x A. y ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
23		eqopab2b 5005	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) } = { <. x , y >. | ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) } <-> A. x A. y ( ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) <-> ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) ) )
24		opabresid 5455	. . . 4 |- { <. x , y >. | ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) } = ( _I |` ( dom A u. ran A ) )
25		opabresid 5455	. . . 4 |- { <. x , y >. | ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) } = ( _I |` ( dom B u. ran B ) )
26	24, 25	eqeq12i 2636	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ( x e. ( dom A u. ran A ) /\ y = x ) } = { <. x , y >. | ( x e. ( dom B u. ran B ) /\ y = x ) } <-> ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) = ( _I |` ( dom B u. ran B ) ) )
27	22, 23, 26	3bitr2i 288	. 2 |- ( ( dom A u. ran A ) = ( dom B u. ran B ) <-> ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) = ( _I |` ( dom B u. ran B ) ) )
28	3, 27	syl6rbbr 279	1 |- ( ( A e. U /\ B e. V ) -> ( ( dom A u. ran A ) = ( dom B u. ran B ) <-> ( A ^r 0 ) = ( B ^r 0 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   u. cun 3572   {copab 4712   _I cid 5023   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116  (class class class)co 6650   0cc0 9936   ^r crelexp 13760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-mulcl 9998  ax-i2m1 10004

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-n0 11293  df-relexp 13761

This theorem is referenced by:  iunrelexp0  37994