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Theorem iunrelexp0 37994
Description: Simplification of zeroth power of indexed union of powers of relations. (Contributed by RP, 19-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
iunrelexp0 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( U_ x e. Z ( R ^r x ) ^r 0 ) = ( R ^r 0 ) )
Distinct variable groups:   x, R   x, V   x, Z
Proof of Theorem iunrelexp0
StepHypRef Expression
1 df-pr 4180 . . . . . . 7 |- { 0 , 1 } = ( { 0 } u. { 1 } )
21ineq1i 3810 . . . . . 6 |- ( { 0 , 1 } i^i Z ) = ( ( { 0 } u. { 1 } ) i^i Z )
3 indir 3875 . . . . . 6 |- ( ( { 0 } u. { 1 } ) i^i Z ) = ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) )
42, 3eqtr2i 2645 . . . . 5 |- ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) = ( { 0 , 1 } i^i Z )
54uneq1i 3763 . . . 4 |- ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) = ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) u. Z )
6 inss2 3834 . . . . 5 |- ( { 0 , 1 } i^i Z ) C_ Z
7 ssequn1 3783 . . . . 5 |- ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) C_ Z <-> ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) u. Z ) = Z )
86, 7mpbi 220 . . . 4 |- ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) u. Z ) = Z
95, 8eqtr2i 2645 . . 3 |- Z = ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z )
10 iuneq1 4534 . . . 4 |- ( Z = ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) -> U_ x e. Z ( R ^r x ) = U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) )
1110oveq1d 6665 . . 3 |- ( Z = ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) -> ( U_ x e. Z ( R ^r x ) ^r 0 ) = ( U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ^r 0 ) )
129, 11ax-mp 5 . 2 |- ( U_ x e. Z ( R ^r x ) ^r 0 ) = ( U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ^r 0 )
13 dmiun 5333 . . . . . . 7 |- dom U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) = U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) dom ( R ^r x )
14 iunxun 4605 . . . . . . 7 |- U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) dom ( R ^r x ) = ( U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z dom ( R ^r x ) )
15 iunxun 4605 . . . . . . . . . 10 |- U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) dom ( R ^r x ) = ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) )
1615equncomi 3759 . . . . . . . . 9 |- U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) dom ( R ^r x ) = ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) )
1716uneq1i 3763 . . . . . . . 8 |- ( U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z dom ( R ^r x ) ) = ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z dom ( R ^r x ) )
1817equncomi 3759 . . . . . . 7 |- ( U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z dom ( R ^r x ) ) = ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) )
1913, 14, 183eqtri 2648 . . . . . 6 |- dom U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) = ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) )
20 rniun 5543 . . . . . . 7 |- ran U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) = U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ran ( R ^r x )
21 iunxun 4605 . . . . . . 7 |- U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ran ( R ^r x ) = ( U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) )
22 iunxun 4605 . . . . . . . 8 |- U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) ran ( R ^r x ) = ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) )
2322uneq1i 3763 . . . . . . 7 |- ( U_ x e. ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) = ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) )
2420, 21, 233eqtri 2648 . . . . . 6 |- ran U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) = ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) )
2519, 24uneq12i 3765 . . . . 5 |- ( dom U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) u. ran U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ) = ( ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) ) u. ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) )
26 uncom 3757 . . . . . . 7 |- ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) ) = ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z dom ( R ^r x ) )
2726uneq1i 3763 . . . . . 6 |- ( ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) ) u. ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z dom ( R ^r x ) ) u. ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) )
28 un4 3773 . . . . . 6 |- ( ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z dom ( R ^r x ) ) u. ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) )
2927, 28eqtri 2644 . . . . 5 |- ( ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) ) u. ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) )
30 uncom 3757 . . . . . . . 8 |- ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) = ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) )
3130uneq1i 3763 . . . . . . 7 |- ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) )
32 un4 3773 . . . . . . 7 |- ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) )
3331, 32eqtri 2644 . . . . . 6 |- ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) )
3433uneq1i 3763 . . . . 5 |- ( ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) )
3525, 29, 343eqtri 2648 . . . 4 |- ( dom U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) u. ran U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ) = ( ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) )
36 df-ne 2795 . . . . . . . . . 10 |- ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) <-> -. ( { 0 , 1 } i^i Z ) = (/) )
37 incom 3805 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { 0 , 1 } i^i Z ) = ( Z i^i { 0 , 1 } )
381ineq2i 3811 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Z i^i { 0 , 1 } ) = ( Z i^i ( { 0 } u. { 1 } ) )
39 indi 3873 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Z i^i ( { 0 } u. { 1 } ) ) = ( ( Z i^i { 0 } ) u. ( Z i^i { 1 } ) )
4037, 38, 393eqtri 2648 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { 0 , 1 } i^i Z ) = ( ( Z i^i { 0 } ) u. ( Z i^i { 1 } ) )
4140eqeq1i 2627 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) = (/) <-> ( ( Z i^i { 0 } ) u. ( Z i^i { 1 } ) ) = (/) )
42 un00 4011 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Z i^i { 0 } ) = (/) /\ ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) <-> ( ( Z i^i { 0 } ) u. ( Z i^i { 1 } ) ) = (/) )
43 anor 510 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Z i^i { 0 } ) = (/) /\ ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) <-> -. ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) \/ -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) )
4441, 42, 433bitr2i 288 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) = (/) <-> -. ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) \/ -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) )
4544notbii 310 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( { 0 , 1 } i^i Z ) = (/) <-> -. -. ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) \/ -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) )
46 notnotb 304 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) \/ -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) <-> -. -. ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) \/ -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) )
47 disjsn 4246 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Z i^i { 0 } ) = (/) <-> -. 0 e. Z )
4847notbii 310 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) <-> -. -. 0 e. Z )
49 notnotb 304 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. Z <-> -. -. 0 e. Z )
5048, 49bitr4i 267 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) <-> 0 e. Z )
51 disjsn 4246 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Z i^i { 1 } ) = (/) <-> -. 1 e. Z )
5251notbii 310 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) <-> -. -. 1 e. Z )
53 notnotb 304 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. Z <-> -. -. 1 e. Z )
5452, 53bitr4i 267 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) <-> 1 e. Z )
5550, 54orbi12i 543 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. ( Z i^i { 0 } ) = (/) \/ -. ( Z i^i { 1 } ) = (/) ) <-> ( 0 e. Z \/ 1 e. Z ) )
5645, 46, 553bitr2i 288 . . . . . . . . . 10 |- ( -. ( { 0 , 1 } i^i Z ) = (/) <-> ( 0 e. Z \/ 1 e. Z ) )
5736, 56sylbb 209 . . . . . . . . 9 |- ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) -> ( 0 e. Z \/ 1 e. Z ) )
58 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> 0 e. Z )
5958snssd 4340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> { 0 } C_ Z )
60 df-ss 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { 0 } C_ Z <-> ( { 0 } i^i Z ) = { 0 } )
6159, 60sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( { 0 } i^i Z ) = { 0 } )
6261iuneq1d 4545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) = U_ x e. { 0 } dom ( R ^r x ) )
63 c0ex 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. _V
64 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = 0 -> ( R ^r x ) = ( R ^r 0 ) )
6564dmeqd 5326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = 0 -> dom ( R ^r x ) = dom ( R ^r 0 ) )
6663, 65iunxsn 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U_ x e. { 0 } dom ( R ^r x ) = dom ( R ^r 0 )
6762, 66syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) = dom ( R ^r 0 ) )
68 relexp0g 13762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. V -> ( R ^r 0 ) = ( _I |` ( dom R u. ran R ) ) )
6968ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( R ^r 0 ) = ( _I |` ( dom R u. ran R ) ) )
7069dmeqd 5326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> dom ( R ^r 0 ) = dom ( _I |` ( dom R u. ran R ) ) )
71 dmresi 5457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- dom ( _I |` ( dom R u. ran R ) ) = ( dom R u. ran R )
7270, 71syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> dom ( R ^r 0 ) = ( dom R u. ran R ) )
7367, 72eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) = ( dom R u. ran R ) )
7461iuneq1d 4545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) = U_ x e. { 0 } ran ( R ^r x ) )
7564rneqd 5353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = 0 -> ran ( R ^r x ) = ran ( R ^r 0 ) )
7663, 75iunxsn 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U_ x e. { 0 } ran ( R ^r x ) = ran ( R ^r 0 )
7774, 76syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) = ran ( R ^r 0 ) )
7869rneqd 5353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ran ( R ^r 0 ) = ran ( _I |` ( dom R u. ran R ) ) )
79 rnresi 5479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ran ( _I |` ( dom R u. ran R ) ) = ( dom R u. ran R )
8078, 79syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ran ( R ^r 0 ) = ( dom R u. ran R ) )
8177, 80eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) = ( dom R u. ran R ) )
8273, 81uneq12d 3768 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) = ( ( dom R u. ran R ) u. ( dom R u. ran R ) ) )
83 unidm 3756 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( dom R u. ran R ) u. ( dom R u. ran R ) ) = ( dom R u. ran R )
8482, 83syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) = ( dom R u. ran R ) )
8584uneq1d 3766 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( dom R u. ran R ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) )
86 relexpdmg 13782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. NN0 /\ R e. V ) -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
8786expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. V -> ( x e. NN0 -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
8887ralrimiv 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R e. V -> A. x e. NN0 dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
8988ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. NN0 dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
90 olc 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Z C_ NN0 -> ( { 1 } C_ NN0 \/ Z C_ NN0 ) )
9190ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( { 1 } C_ NN0 \/ Z C_ NN0 ) )
92 inss 3842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( { 1 } C_ NN0 \/ Z C_ NN0 ) -> ( { 1 } i^i Z ) C_ NN0 )
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( { 1 } i^i Z ) C_ NN0 )
9493sseld 3602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( x e. ( { 1 } i^i Z ) -> x e. NN0 ) )
9594imim1d 82 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( x e. NN0 -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) -> ( x e. ( { 1 } i^i Z ) -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) ) )
9695ralimdv2 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( A. x e. NN0 dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) -> A. x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
9789, 96mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
98 iunss 4561 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> A. x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
9997, 98sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
100 relexprng 13786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. NN0 /\ R e. V ) -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
101100expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. V -> ( x e. NN0 -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
102101ralrimiv 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R e. V -> A. x e. NN0 ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
103102ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. NN0 ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
10494imim1d 82 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( x e. NN0 -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) -> ( x e. ( { 1 } i^i Z ) -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) ) )
105104ralimdv2 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( A. x e. NN0 ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) -> A. x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
106103, 105mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
107 iunss 4561 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> A. x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
108106, 107sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
10999, 108unssd 3789 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) C_ ( dom R u. ran R ) )
110 ssequn2 3786 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> ( ( dom R u. ran R ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
111109, 110sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( dom R u. ran R ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
11285, 111eqtrd 2656 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
113112ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. Z -> ( ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) ) )
114 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> 1 e. Z )
115114snssd 4340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> { 1 } C_ Z )
116 df-ss 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { 1 } C_ Z <-> ( { 1 } i^i Z ) = { 1 } )
117115, 116sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( { 1 } i^i Z ) = { 1 } )
118117iuneq1d 4545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) = U_ x e. { 1 } dom ( R ^r x ) )
119 1ex 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. _V
120 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = 1 -> ( R ^r x ) = ( R ^r 1 ) )
121120dmeqd 5326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = 1 -> dom ( R ^r x ) = dom ( R ^r 1 ) )
122119, 121iunxsn 4603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ x e. { 1 } dom ( R ^r x ) = dom ( R ^r 1 )
123118, 122syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) = dom ( R ^r 1 ) )
124 relexp1g 13766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R e. V -> ( R ^r 1 ) = R )
125124ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( R ^r 1 ) = R )
126125dmeqd 5326 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> dom ( R ^r 1 ) = dom R )
127123, 126eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) = dom R )
128117iuneq1d 4545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) = U_ x e. { 1 } ran ( R ^r x ) )
129120rneqd 5353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = 1 -> ran ( R ^r x ) = ran ( R ^r 1 ) )
130119, 129iunxsn 4603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ x e. { 1 } ran ( R ^r x ) = ran ( R ^r 1 )
131128, 130syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) = ran ( R ^r 1 ) )
132125rneqd 5353 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ran ( R ^r 1 ) = ran R )
133131, 132eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) = ran R )
134127, 133uneq12d 3768 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) = ( dom R u. ran R ) )
135134uneq2d 3767 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( dom R u. ran R ) ) )
13688ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. NN0 dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
137 olc 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Z C_ NN0 -> ( { 0 } C_ NN0 \/ Z C_ NN0 ) )
138137ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( { 0 } C_ NN0 \/ Z C_ NN0 ) )
139 inss 3842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( { 0 } C_ NN0 \/ Z C_ NN0 ) -> ( { 0 } i^i Z ) C_ NN0 )
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( { 0 } i^i Z ) C_ NN0 )
141140sseld 3602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( x e. ( { 0 } i^i Z ) -> x e. NN0 ) )
142141imim1d 82 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( x e. NN0 -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) -> ( x e. ( { 0 } i^i Z ) -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) ) )
143142ralimdv2 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( A. x e. NN0 dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) -> A. x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
144136, 143mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
145 iunss 4561 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> A. x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
146144, 145sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
147102ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. NN0 ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
148141imim1d 82 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( x e. NN0 -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) -> ( x e. ( { 0 } i^i Z ) -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) ) )
149148ralimdv2 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( A. x e. NN0 ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) -> A. x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
150147, 149mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> A. x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
151 iunss 4561 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> A. x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
152150, 151sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
153146, 152unssd 3789 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) C_ ( dom R u. ran R ) )
154 ssequn1 3783 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( dom R u. ran R ) ) = ( dom R u. ran R ) )
155153, 154sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( dom R u. ran R ) ) = ( dom R u. ran R ) )
156135, 155eqtrd 2656 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. Z /\ ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
157156ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. Z -> ( ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) ) )
158113, 157jaoi 394 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. Z \/ 1 e. Z ) -> ( ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) ) )
15957, 158syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) -> ( ( Z C_ NN0 /\ R e. V ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) ) )
1601593impib 1262 . . . . . . 7 |- ( ( ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) /\ Z C_ NN0 /\ R e. V ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
1611603com13 1270 . . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
162161uneq1d 3766 . . . . 5 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( ( dom R u. ran R ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) )
16388adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> A. x e. NN0 dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
164 ssel 3597 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( Z C_ NN0 -> ( x e. Z -> x e. NN0 ) )
165164adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> ( x e. Z -> x e. NN0 ) )
166165imim1d 82 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> ( ( x e. NN0 -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) -> ( x e. Z -> dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) ) )
167166ralimdv2 2961 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> ( A. x e. NN0 dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) -> A. x e. Z dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
168163, 167mpd 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> A. x e. Z dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
169 iunss 4561 . . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> A. x e. Z dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
170168, 169sylibr 224 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> U_ x e. Z dom ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
171102adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> A. x e. NN0 ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
172165imim1d 82 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> ( ( x e. NN0 -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) -> ( x e. Z -> ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) ) )
173172ralimdv2 2961 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> ( A. x e. NN0 ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) -> A. x e. Z ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) ) )
174171, 173mpd 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> A. x e. Z ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
175 iunss 4561 . . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. Z ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> A. x e. Z ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
176174, 175sylibr 224 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> U_ x e. Z ran ( R ^r x ) C_ ( dom R u. ran R ) )
177170, 176unssd 3789 . . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 ) -> ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) C_ ( dom R u. ran R ) )
1781773adant3 1081 . . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) C_ ( dom R u. ran R ) )
179 ssequn2 3786 . . . . . 6 |- ( ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) C_ ( dom R u. ran R ) <-> ( ( dom R u. ran R ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
180178, 179sylib 208 . . . . 5 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( ( dom R u. ran R ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
181162, 180eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( ( ( U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 0 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) u. ( U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) dom ( R ^r x ) u. U_ x e. ( { 1 } i^i Z ) ran ( R ^r x ) ) ) u. ( U_ x e. Z dom ( R ^r x ) u. U_ x e. Z ran ( R ^r x ) ) ) = ( dom R u. ran R ) )
18235, 181syl5eq 2668 . . 3 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( dom U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) u. ran U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ) = ( dom R u. ran R ) )
183 nn0ex 11298 . . . . . . 7 |- NN0 e. _V
184183ssex 4802 . . . . . 6 |- ( Z C_ NN0 -> Z e. _V )
185 incom 3805 . . . . . . . . . 10 |- ( Z i^i { 0 } ) = ( { 0 } i^i Z )
186 inex1g 4801 . . . . . . . . . 10 |- ( Z e. _V -> ( Z i^i { 0 } ) e. _V )
187185, 186syl5eqelr 2706 . . . . . . . . 9 |- ( Z e. _V -> ( { 0 } i^i Z ) e. _V )
188 incom 3805 . . . . . . . . . 10 |- ( Z i^i { 1 } ) = ( { 1 } i^i Z )
189 inex1g 4801 . . . . . . . . . 10 |- ( Z e. _V -> ( Z i^i { 1 } ) e. _V )
190188, 189syl5eqelr 2706 . . . . . . . . 9 |- ( Z e. _V -> ( { 1 } i^i Z ) e. _V )
191 unexg 6959 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( { 0 } i^i Z ) e. _V /\ ( { 1 } i^i Z ) e. _V ) -> ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) e. _V )
192187, 190, 191syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( Z e. _V -> ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) e. _V )
193 unexg 6959 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) e. _V /\ Z e. _V ) -> ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) e. _V )
194192, 193mpancom 703 . . . . . . 7 |- ( Z e. _V -> ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) e. _V )
195 ovex 6678 . . . . . . . 8 |- ( R ^r x ) e. _V
196195rgenw 2924 . . . . . . 7 |- A. x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) e. _V
197 iunexg 7143 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) e. _V /\ A. x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) e. _V ) -> U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) e. _V )
198194, 196, 197sylancl 694 . . . . . 6 |- ( Z e. _V -> U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) e. _V )
199184, 198syl 17 . . . . 5 |- ( Z C_ NN0 -> U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) e. _V )
2001993ad2ant2 1083 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) e. _V )
201 simp1 1061 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> R e. V )
202 relexp0eq 37993 . . . 4 |- ( ( U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) e. _V /\ R e. V ) -> ( ( dom U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) u. ran U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ) = ( dom R u. ran R ) <-> ( U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ^r 0 ) = ( R ^r 0 ) ) )
203200, 201, 202syl2anc 693 . . 3 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( ( dom U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) u. ran U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ) = ( dom R u. ran R ) <-> ( U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ^r 0 ) = ( R ^r 0 ) ) )
204182, 203mpbid 222 . 2 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( U_ x e. ( ( ( { 0 } i^i Z ) u. ( { 1 } i^i Z ) ) u. Z ) ( R ^r x ) ^r 0 ) = ( R ^r 0 ) )
20512, 204syl5eq 2668 1 |- ( ( R e. V /\ Z C_ NN0 /\ ( { 0 , 1 } i^i Z ) =/= (/) ) -> ( U_ x e. Z ( R ^r x ) ^r 0 ) = ( R ^r 0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   U_ciun 4520   _I cid 5023   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   NN0cn0 11292   ^r crelexp 13760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-relexp 13761
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