Theorem rlim0 14239

Description: Express the predicate B ( z ) converges to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlim0.1	|- ( ph -> A. z e. A B e. CC )
rlim0.2	|- ( ph -> A C_ RR )

Assertion

Ref	Expression
rlim0	|- ( ph -> ( ( z e. A |-> B ) ~~> r 0 <-> A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` B ) < x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   B( z)

Proof of Theorem rlim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlim0.1	. . 3 |- ( ph -> A. z e. A B e. CC )
2		rlim0.2	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
3		0cnd 10033	. . 3 |- ( ph -> 0 e. CC )
4	1, 2, 3	rlim2 14227	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. A |-> B ) ~~> r 0 <-> A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - 0 ) ) < x ) ) )
5		subid1 10301	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( B - 0 ) = B )
6	5	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( abs ` ( B - 0 ) ) = ( abs ` B ) )
7	6	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( B e. CC -> ( ( abs ` ( B - 0 ) ) < x <-> ( abs ` B ) < x ) )
8	7	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( ( y <_ z -> ( abs ` ( B - 0 ) ) < x ) <-> ( y <_ z -> ( abs ` B ) < x ) ) )
9	8	ralimi 2952	. . . . 5 |- ( A. z e. A B e. CC -> A. z e. A ( ( y <_ z -> ( abs ` ( B - 0 ) ) < x ) <-> ( y <_ z -> ( abs ` B ) < x ) ) )
10		ralbi 3068	. . . . 5 |- ( A. z e. A ( ( y <_ z -> ( abs ` ( B - 0 ) ) < x ) <-> ( y <_ z -> ( abs ` B ) < x ) ) -> ( A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - 0 ) ) < x ) <-> A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` B ) < x ) ) )
11	1, 9, 10	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ( A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - 0 ) ) < x ) <-> A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` B ) < x ) ) )
12	11	rexbidv 3052	. . 3 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - 0 ) ) < x ) <-> E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` B ) < x ) ) )
13	12	ralbidv 2986	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - 0 ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` B ) < x ) ) )
14	4, 13	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( ( z e. A |-> B ) ~~> r 0 <-> A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` B ) < x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> r crli 14216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  o1rlimmul  14349  dvfsumrlim  23794  rlimcxp  24700