Theorem dvfsumrlim 23794

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). The statement here says that if x e. S |-> B is a decreasing function with antiderivative A converging to zero, then the difference between sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) B ( k ) and A ( x ) = S. u e. ( M [,] x ) B ( u ) _d u converges to a constant limit value, with the remainder term bounded by B ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	|- S = ( T (,) +oo )
dvfsum.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
dvfsum.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvfsum.d	|- ( ph -> D e. RR )
dvfsum.md	|- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
dvfsum.t	|- ( ph -> T e. RR )
dvfsum.a	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
dvfsum.b1	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
dvfsum.b2	|- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
dvfsum.b3	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
dvfsum.c	|- ( x = k -> B = C )
dvfsumrlim.l	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k ) ) -> C <_ B )
dvfsumrlim.g	|- G = ( x e. S |-> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) )
dvfsumrlim.k	|- ( ph -> ( x e. S |-> B ) ~~> r 0 )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumrlim	|- ( ph -> G e. dom ~~> r )

Distinct variable groups:   B, k   x, C   x, k, D   ph, k, x   S, k, x   k, M, x   x, T   x, Z

Allowed substitution hints:   A( x, k)   B( x)   C( k)   T( k)   G( x, k)   V( x, k)   Z( k)

Proof of Theorem dvfsumrlim

Dummy variables y e c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . 4 |- S = ( T (,) +oo )
2		ioossre 12235	. . . 4 |- ( T (,) +oo ) C_ RR
3	1, 2	eqsstri 3635	. . 3 |- S C_ RR
4	3	a1i 11	. 2 |- ( ph -> S C_ RR )
5		dvfsum.z	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
6		dvfsum.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
7		dvfsum.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. RR )
8		dvfsum.md	. . . 4 |- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
9		dvfsum.t	. . . 4 |- ( ph -> T e. RR )
10		dvfsum.a	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
11		dvfsum.b1	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
12		dvfsum.b2	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
13		dvfsum.b3	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
14		dvfsum.c	. . . 4 |- ( x = k -> B = C )
15		dvfsumrlim.g	. . . 4 |- G = ( x e. S |-> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) )
16	1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	dvfsumrlimf 23788	. . 3 |- ( ph -> G : S --> RR )
17		ax-resscn 9993	. . 3 |- RR C_ CC
18		fss 6056	. . 3 |- ( ( G : S --> RR /\ RR C_ CC ) -> G : S --> CC )
19	16, 17, 18	sylancl 694	. 2 |- ( ph -> G : S --> CC )
20	1	supeq1i 8353	. . 3 |- sup ( S , RR* , < ) = sup ( ( T (,) +oo ) , RR* , < )
21		ressxr 10083	. . . . 5 |- RR C_ RR*
22	21, 9	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ph -> T e. RR* )
23	9	renepnfd 10090	. . . 4 |- ( ph -> T =/= +oo )
24		ioopnfsup 12663	. . . 4 |- ( ( T e. RR* /\ T =/= +oo ) -> sup ( ( T (,) +oo ) , RR* , < ) = +oo )
25	22, 23, 24	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> sup ( ( T (,) +oo ) , RR* , < ) = +oo )
26	20, 25	syl5eq 2668	. 2 |- ( ph -> sup ( S , RR* , < ) = +oo )
27		dvfsumrlim.k	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. S |-> B ) ~~> r 0 )
28	11, 27	rlimmptrcl 14338	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. CC )
29	28	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. S B e. CC )
30	29, 4	rlim0 14239	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. S |-> B ) ~~> r 0 <-> A. e e. RR+ E. c e. RR A. x e. S ( c <_ x -> ( abs ` B ) < e ) ) )
31	27, 30	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. c e. RR A. x e. S ( c <_ x -> ( abs ` B ) < e ) )
32	3	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> S C_ RR )
33		peano2re 10209	. . . . . . . . 9 |- ( T e. RR -> ( T + 1 ) e. RR )
34	9, 33	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T + 1 ) e. RR )
35	34, 7	ifcld 4131	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) e. RR )
36	35	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) e. RR )
37		rexico 14093	. . . . . 6 |- ( ( S C_ RR /\ if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) e. RR ) -> ( E. c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) A. x e. S ( c <_ x -> ( abs ` B ) < e ) <-> E. c e. RR A. x e. S ( c <_ x -> ( abs ` B ) < e ) ) )
38	32, 36, 37	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) A. x e. S ( c <_ x -> ( abs ` B ) < e ) <-> E. c e. RR A. x e. S ( c <_ x -> ( abs ` B ) < e ) ) )
39		elicopnf 12269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) e. RR -> ( c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) <-> ( c e. RR /\ if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) <_ c ) ) )
40	35, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) <-> ( c e. RR /\ if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) <_ c ) ) )
41	40	simprbda 653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) ) -> c e. RR )
42	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) ) -> T e. RR )
43	42, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) ) -> ( T + 1 ) e. RR )
44	42	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) ) -> T < ( T + 1 ) )
45	40	simplbda 654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) ) -> if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) <_ c )
46	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) ) -> D e. RR )
47		maxle 12022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. RR /\ ( T + 1 ) e. RR /\ c e. RR ) -> ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) <_ c <-> ( D <_ c /\ ( T + 1 ) <_ c ) ) )
48	46, 43, 41, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) ) -> ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) <_ c <-> ( D <_ c /\ ( T + 1 ) <_ c ) ) )
49	45, 48	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) ) -> ( D <_ c /\ ( T + 1 ) <_ c ) )
50	49	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) ) -> ( T + 1 ) <_ c )
51	42, 43, 41, 44, 50	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) ) -> T < c )
52	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) ) -> T e. RR* )
53		elioopnf 12267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T e. RR* -> ( c e. ( T (,) +oo ) <-> ( c e. RR /\ T < c ) ) )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) ) -> ( c e. ( T (,) +oo ) <-> ( c e. RR /\ T < c ) ) )
55	41, 51, 54	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) ) -> c e. ( T (,) +oo ) )
56	55, 1	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) ) -> c e. S )
57	49	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) ) -> D <_ c )
58	56, 57	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) ) -> ( c e. S /\ D <_ c ) )
59	58	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) ) -> ( c e. S /\ D <_ c ) )
60		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) ) -> c e. S )
61	60	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> c e. S )
62	3, 61	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> c e. RR )
63	62	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> c <_ c )
64		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ x c <_ c
65		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x abs
66		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x [_ c / x ]_ B
67	65, 66	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x ( abs ` [_ c / x ]_ B )
68		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x <
69		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x e
70	67, 68, 69	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ x ( abs ` [_ c / x ]_ B ) < e
71	64, 70	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( c <_ c -> ( abs ` [_ c / x ]_ B ) < e )
72		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = c -> ( c <_ x <-> c <_ c ) )
73		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = c -> B = [_ c / x ]_ B )
74	73	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = c -> ( abs ` B ) = ( abs ` [_ c / x ]_ B ) )
75	74	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = c -> ( ( abs ` B ) < e <-> ( abs ` [_ c / x ]_ B ) < e ) )
76	72, 75	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = c -> ( ( c <_ x -> ( abs ` B ) < e ) <-> ( c <_ c -> ( abs ` [_ c / x ]_ B ) < e ) ) )
77	71, 76	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c e. S -> ( A. x e. S ( c <_ x -> ( abs ` B ) < e ) -> ( c <_ c -> ( abs ` [_ c / x ]_ B ) < e ) ) )
78	61, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> ( A. x e. S ( c <_ x -> ( abs ` B ) < e ) -> ( c <_ c -> ( abs ` [_ c / x ]_ B ) < e ) ) )
79	63, 78	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> ( A. x e. S ( c <_ x -> ( abs ` B ) < e ) -> ( abs ` [_ c / x ]_ B ) < e ) )
80	4, 10, 11, 13	dvmptrecl 23787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. RR )
81	80	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ D <_ x ) ) -> B e. RR )
82		dvfsumrlim.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k ) ) -> C <_ B )
83	1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 82, 15, 27	dvfsumrlimge0 23793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ D <_ x ) ) -> 0 <_ B )
84		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
85	81, 83, 84	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ D <_ x ) ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
86	85	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( D <_ x -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) )
87	86	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> A. x e. S ( D <_ x -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) )
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> A. x e. S ( D <_ x -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) )
89		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) ) -> D <_ c )
90	89	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> D <_ c )
91		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ x D <_ c
92	66	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ x [_ c / x ]_ B e. ( 0 [,) +oo )
93	91, 92	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ x ( D <_ c -> [_ c / x ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) )
94		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = c -> ( D <_ x <-> D <_ c ) )
95	73	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = c -> ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> [_ c / x ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) ) )
96	94, 95	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = c -> ( ( D <_ x -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( D <_ c -> [_ c / x ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
97	93, 96	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( c e. S -> ( A. x e. S ( D <_ x -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( D <_ c -> [_ c / x ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
98	61, 88, 90, 97	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> [_ c / x ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) )
99		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [_ c / x ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( [_ c / x ]_ B e. RR /\ 0 <_ [_ c / x ]_ B ) )
100	98, 99	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> ( [_ c / x ]_ B e. RR /\ 0 <_ [_ c / x ]_ B ) )
101		absid 14036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( [_ c / x ]_ B e. RR /\ 0 <_ [_ c / x ]_ B ) -> ( abs ` [_ c / x ]_ B ) = [_ c / x ]_ B )
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> ( abs ` [_ c / x ]_ B ) = [_ c / x ]_ B )
103	102	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> ( ( abs ` [_ c / x ]_ B ) < e <-> [_ c / x ]_ B < e ) )
104	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> M e. ZZ )
105	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> D e. RR )
106	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> M <_ ( D + 1 ) )
107	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> T e. RR )
108	10	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) /\ x e. S ) -> A e. RR )
109	11	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) /\ x e. S ) -> B e. V )
110	12	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) /\ x e. Z ) -> B e. RR )
111	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
112		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- +oo e. RR*
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> +oo e. RR* )
114		3simpa 1058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ +oo ) -> ( D <_ x /\ x <_ k ) )
115	114, 82	syl3an3 1361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ +oo ) ) -> C <_ B )
116	115	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ +oo ) ) -> C <_ B )
117	83	3adantr3 1222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ D <_ x /\ x <_ +oo ) ) -> 0 <_ B )
118	117	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) /\ ( x e. S /\ D <_ x /\ x <_ +oo ) ) -> 0 <_ B )
119		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> y e. S )
120		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> c <_ y )
121	3, 21	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- S C_ RR*
122	121, 119	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> y e. RR* )
123		pnfge 11964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. RR* -> y <_ +oo )
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> y <_ +oo )
125	1, 5, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 14, 113, 116, 15, 118, 61, 119, 90, 120, 124	dvfsumlem4 23792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) ) <_ [_ c / x ]_ B )
126	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> G : S --> CC )
127	126, 119	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> ( G ` y ) e. CC )
128	126, 61	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> ( G ` c ) e. CC )
129	127, 128	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) e. CC )
130	129	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) ) e. RR )
131	100	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> [_ c / x ]_ B e. RR )
132		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> e e. RR+ )
133	132	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> e e. RR )
134		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) ) e. RR /\ [_ c / x ]_ B e. RR /\ e e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) ) <_ [_ c / x ]_ B /\ [_ c / x ]_ B < e ) -> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) ) < e ) )
135	130, 131, 133, 134	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) ) <_ [_ c / x ]_ B /\ [_ c / x ]_ B < e ) -> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) ) < e ) )
136	125, 135	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> ( [_ c / x ]_ B < e -> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) ) < e ) )
137	103, 136	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> ( ( abs ` [_ c / x ]_ B ) < e -> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) ) < e ) )
138	79, 137	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) ) -> ( A. x e. S ( c <_ x -> ( abs ` B ) < e ) -> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) ) < e ) )
139	138	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) ) /\ ( y e. S /\ c <_ y ) ) -> ( A. x e. S ( c <_ x -> ( abs ` B ) < e ) -> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) ) < e ) )
140	139	expr 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) ) /\ y e. S ) -> ( c <_ y -> ( A. x e. S ( c <_ x -> ( abs ` B ) < e ) -> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) ) < e ) ) )
141	140	com23 86	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) ) /\ y e. S ) -> ( A. x e. S ( c <_ x -> ( abs ` B ) < e ) -> ( c <_ y -> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) ) < e ) ) )
142	141	ralrimdva 2969	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) ) -> ( A. x e. S ( c <_ x -> ( abs ` B ) < e ) -> A. y e. S ( c <_ y -> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) ) < e ) ) )
143	142, 60	jctild 566	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) ) -> ( A. x e. S ( c <_ x -> ( abs ` B ) < e ) -> ( c e. S /\ A. y e. S ( c <_ y -> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) ) < e ) ) ) )
144	143	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( c e. S /\ D <_ c ) ) -> ( A. x e. S ( c <_ x -> ( abs ` B ) < e ) -> ( c e. S /\ A. y e. S ( c <_ y -> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) ) < e ) ) ) )
145	59, 144	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) ) -> ( A. x e. S ( c <_ x -> ( abs ` B ) < e ) -> ( c e. S /\ A. y e. S ( c <_ y -> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) ) < e ) ) ) )
146	145	expimpd 629	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) /\ A. x e. S ( c <_ x -> ( abs ` B ) < e ) ) -> ( c e. S /\ A. y e. S ( c <_ y -> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) ) < e ) ) ) )
147	146	reximdv2 3014	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. c e. ( if ( D <_ ( T + 1 ) , ( T + 1 ) , D ) [,) +oo ) A. x e. S ( c <_ x -> ( abs ` B ) < e ) -> E. c e. S A. y e. S ( c <_ y -> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) ) < e ) ) )
148	38, 147	sylbird 250	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. c e. RR A. x e. S ( c <_ x -> ( abs ` B ) < e ) -> E. c e. S A. y e. S ( c <_ y -> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) ) < e ) ) )
149	148	ralimdva 2962	. . 3 |- ( ph -> ( A. e e. RR+ E. c e. RR A. x e. S ( c <_ x -> ( abs ` B ) < e ) -> A. e e. RR+ E. c e. S A. y e. S ( c <_ y -> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) ) < e ) ) )
150	31, 149	mpd 15	. 2 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. c e. S A. y e. S ( c <_ y -> ( abs ` ( ( G ` y ) - ( G ` c ) ) ) < e ) )
151	4, 19, 26, 150	caucvgr 14406	1 |- ( ph -> G e. dom ~~> r )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   [_csb 3533   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   ...cfz 12326   |_cfl 12591   abscabs 13974   ~~> r crli 14216   sum_csu 14416   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dvfsumrlim3  23796