o1rlimmul - Metamath Proof Explorer

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Theorem o1rlimmul 14349

Description: The product of an eventually bounded function and a function of limit zero has limit zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
o1rlimmul	$/\$

Proof of Theorem o1rlimmul Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1f 14260	. . . . 5
2	1	adantr 481	. . . 4 $/\$
3		ffn 6045	. . . 4
4	2, 3	syl 17	. . 3 $/\$
5		rlimf 14232	. . . . 5
6	5	adantl 482	. . . 4 $/\$
7		ffn 6045	. . . 4
8	6, 7	syl 17	. . 3 $/\$
9		o1dm 14261	. . . . 5
10	9	adantr 481	. . . 4 $/\$
11		reex 10027	. . . 4
12		ssexg 4804	. . . 4 $/\$
13	10, 11, 12	sylancl 694	. . 3 $/\$
14		rlimss 14233	. . . . 5
15	14	adantl 482	. . . 4 $/\$
16		ssexg 4804	. . . 4 $/\$
17	15, 11, 16	sylancl 694	. . 3 $/\$
18		eqid 2622	. . 3
19		eqidd 2623	. . 3 $/\$ $/\$
20		eqidd 2623	. . 3 $/\$ $/\$
21	4, 8, 13, 17, 18, 19, 20	offval 6904	. 2 $/\$
22		o1bdd 14262	. . . . . . 7 $/\$
23	1, 22	mpdan 702	. . . . . 6
24	23	ad2antrr 762	. . . . 5 $/\$ $/\$
25		fvexd 6203	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	25	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		simplr 792	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		recn 10026	. . . . . . . . . . . 12
29	28	ad2antll 765	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	29	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31	29	absge0d 14183	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	30, 31	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	27, 32	rpdivcld 11889	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	6	feqmptd 6249	. . . . . . . . . 10 $/\$
35		simpr 477	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	34, 35	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . 9 $/\$
37	36	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	26, 33, 37	rlimi 14244	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . 14
40		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . 14
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
42		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . 14
43		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . 14
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
45	41, 44	anim12i 590	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
46		r19.26 3064	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
47	45, 46	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
48		prth 595	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
49	48	ralimi 2952	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
50	47, 49	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
51		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	39, 10	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
54	53	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	54, 55	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		maxle 12022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
58	51, 52, 56, 57	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	58	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	6	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	42	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
62	61	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	60, 62	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	63	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	65	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	63	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	68	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
71	67, 69, 70	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	66, 71	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	72	anim2d 589	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	2	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	39	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
76	75	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	74, 76	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	77	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	77	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	78, 79	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	63	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	67, 82	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84		lemul12a 10881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85	80, 81, 83, 69, 84	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	77, 63	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	86	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	81	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90	89	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	91	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	91	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	88, 90, 92, 93	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
96	30, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	81	leabsd 14153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	98	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	81, 98, 97, 99, 100	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	81, 97, 89, 101	ltmul1dd 11927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	89	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	81, 103	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	104, 103, 91	ltdivmuld 11923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	102, 105	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	94, 106	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	77, 63	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	108	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	81, 69	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
112	109, 110, 103, 111	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	107, 112	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	87, 113	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	73, 85, 114	3syld 60	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	59, 115	imim12d 81	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	116	anassrs 680	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	117	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120		simplrl 800	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	119, 120	ifcld 4131	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	118, 121	jctild 566	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13
124	123	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . 12
125	124	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11
126	125	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 $/\$
127	50, 122, 126	syl56 36	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	127	expcomd 454	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	38, 129	mpd 15	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	130	rexlimdvva 3038	. . . . 5 $/\$ $/\$
132	24, 131	mpd 15	. . . 4 $/\$ $/\$
133	132	ralrimiva 2966	. . 3 $/\$
134		ffvelrn 6357	. . . . . . 7 $/\$
135	2, 75, 134	syl2an 494	. . . . . 6 $/\$ $/\$
136		ffvelrn 6357	. . . . . . 7 $/\$
137	6, 61, 136	syl2an 494	. . . . . 6 $/\$ $/\$
138	135, 137	mulcld 10060	. . . . 5 $/\$ $/\$
139	138	ralrimiva 2966	. . . 4 $/\$
140	139, 53	rlim0 14239	. . 3 $/\$
141	133, 140	mpbird 247	. 2 $/\$
142	21, 141	eqbrtrd 4675	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200

cin 3573

wss 3574

cif 4086 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cdm 5114

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cof 6895

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

crp 11832

cabs 13974

crli 14216

co1 14217

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ico 12181 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-rlim 14220 df-o1 14221

This theorem is referenced by: chtppilimlem2 25163 chpchtlim 25168

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