Theorem rlim3 14229

Description: Restrict the range of the domain bound to reals greater than some D e. RR. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlim2.1	|- ( ph -> A. z e. A B e. CC )
rlim2.2	|- ( ph -> A C_ RR )
rlim2.3	|- ( ph -> C e. CC )
rlim3.4	|- ( ph -> D e. RR )

Assertion

Ref	Expression
rlim3	|- ( ph -> ( ( z e. A |-> B ) ~~> r C <-> A. x e. RR+ E. y e. ( D [,) +oo ) A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y   x, C, y, z   ph, x, y   y, D, z

Allowed substitution hints:   ph( z)   B( z)   D( x)

Proof of Theorem rlim3

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlim2.1	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. A B e. CC )
2		rlim2.2	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
3		rlim2.3	. . . 4 |- ( ph -> C e. CC )
4	1, 2, 3	rlim2 14227	. . 3 |- ( ph -> ( ( z e. A |-> B ) ~~> r C <-> A. x e. RR+ E. w e. RR A. z e. A ( w <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
5		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> w e. RR )
6		rlim3.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. RR )
7	6	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> D e. RR )
8	5, 7	ifcld 4131	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> if ( D <_ w , w , D ) e. RR )
9		max1 12016	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. RR /\ w e. RR ) -> D <_ if ( D <_ w , w , D ) )
10	6, 9	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> D <_ if ( D <_ w , w , D ) )
11		elicopnf 12269	. . . . . . . 8 |- ( D e. RR -> ( if ( D <_ w , w , D ) e. ( D [,) +oo ) <-> ( if ( D <_ w , w , D ) e. RR /\ D <_ if ( D <_ w , w , D ) ) ) )
12	7, 11	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> ( if ( D <_ w , w , D ) e. ( D [,) +oo ) <-> ( if ( D <_ w , w , D ) e. RR /\ D <_ if ( D <_ w , w , D ) ) ) )
13	8, 10, 12	mpbir2and 957	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> if ( D <_ w , w , D ) e. ( D [,) +oo ) )
14	2, 6	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A C_ RR /\ D e. RR ) )
15		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ D e. RR ) /\ w e. RR ) /\ z e. A ) -> D e. RR )
16		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ D e. RR ) /\ w e. RR ) /\ z e. A ) -> w e. RR )
17		max2 12018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. RR /\ w e. RR ) -> w <_ if ( D <_ w , w , D ) )
18	15, 16, 17	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ D e. RR ) /\ w e. RR ) /\ z e. A ) -> w <_ if ( D <_ w , w , D ) )
19	16, 15	ifcld 4131	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ D e. RR ) /\ w e. RR ) /\ z e. A ) -> if ( D <_ w , w , D ) e. RR )
20		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ RR /\ D e. RR ) /\ w e. RR ) -> A C_ RR )
21	20	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ D e. RR ) /\ w e. RR ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
22		letr 10131	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. RR /\ if ( D <_ w , w , D ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( w <_ if ( D <_ w , w , D ) /\ if ( D <_ w , w , D ) <_ z ) -> w <_ z ) )
23	16, 19, 21, 22	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ D e. RR ) /\ w e. RR ) /\ z e. A ) -> ( ( w <_ if ( D <_ w , w , D ) /\ if ( D <_ w , w , D ) <_ z ) -> w <_ z ) )
24	18, 23	mpand 711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ D e. RR ) /\ w e. RR ) /\ z e. A ) -> ( if ( D <_ w , w , D ) <_ z -> w <_ z ) )
25	24	imim1d 82	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ D e. RR ) /\ w e. RR ) /\ z e. A ) -> ( ( w <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> ( if ( D <_ w , w , D ) <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
26	25	ralimdva 2962	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ D e. RR ) /\ w e. RR ) -> ( A. z e. A ( w <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> A. z e. A ( if ( D <_ w , w , D ) <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
27	14, 26	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> ( A. z e. A ( w <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> A. z e. A ( if ( D <_ w , w , D ) <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
28		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( y = if ( D <_ w , w , D ) -> ( y <_ z <-> if ( D <_ w , w , D ) <_ z ) )
29	28	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( y = if ( D <_ w , w , D ) -> ( ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) <-> ( if ( D <_ w , w , D ) <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
30	29	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( y = if ( D <_ w , w , D ) -> ( A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) <-> A. z e. A ( if ( D <_ w , w , D ) <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
31	30	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( if ( D <_ w , w , D ) e. ( D [,) +oo ) /\ A. z e. A ( if ( D <_ w , w , D ) <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) -> E. y e. ( D [,) +oo ) A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) )
32	13, 27, 31	syl6an 568	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> ( A. z e. A ( w <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> E. y e. ( D [,) +oo ) A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
33	32	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( ph -> ( E. w e. RR A. z e. A ( w <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> E. y e. ( D [,) +oo ) A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
34	33	ralimdv 2963	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. w e. RR A. z e. A ( w <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. y e. ( D [,) +oo ) A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
35	4, 34	sylbid 230	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. A |-> B ) ~~> r C -> A. x e. RR+ E. y e. ( D [,) +oo ) A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
36		pnfxr 10092	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
37		icossre 12254	. . . . . 6 |- ( ( D e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( D [,) +oo ) C_ RR )
38	6, 36, 37	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( D [,) +oo ) C_ RR )
39		ssrexv 3667	. . . . 5 |- ( ( D [,) +oo ) C_ RR -> ( E. y e. ( D [,) +oo ) A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
40	38, 39	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( E. y e. ( D [,) +oo ) A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
41	40	ralimdv 2963	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. y e. ( D [,) +oo ) A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
42	1, 2, 3	rlim2 14227	. . 3 |- ( ph -> ( ( z e. A |-> B ) ~~> r C <-> A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
43	41, 42	sylibrd 249	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. y e. ( D [,) +oo ) A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> ( z e. A |-> B ) ~~> r C ) )
44	35, 43	impbid 202	1 |- ( ph -> ( ( z e. A |-> B ) ~~> r C <-> A. x e. RR+ E. y e. ( D [,) +oo ) A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   [,)cico 12177   abscabs 13974   ~~> r crli 14216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  rlimresb  14296  rlimsqzlem  14379  rlimcnp  24692  signsply0  30628