Theorem rlimresb 14296

Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval converges iff the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimresb.1	|- ( ph -> F : A --> CC )
rlimresb.2	|- ( ph -> A C_ RR )
rlimresb.3	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
rlimresb	|- ( ph -> ( F ~~> r C <-> ( F |` ( B [,) +oo ) ) ~~> r C ) )

Proof of Theorem rlimresb

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcl 14234	. . . 4 |- ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) ~~> r C -> C e. CC )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) ~~> r C -> C e. CC ) )
3		rlimcl 14234	. . . 4 |- ( ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) ~~> r C -> C e. CC )
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) ~~> r C -> C e. CC ) )
5		rlimresb.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A C_ RR )
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( z e. ( B [,) +oo ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) ) -> A C_ RR )
7		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( z e. ( B [,) +oo ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) ) -> x e. A )
8	6, 7	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( z e. ( B [,) +oo ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) ) -> x e. RR )
9		rlimresb.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> B e. RR )
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( z e. ( B [,) +oo ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) ) -> B e. RR )
11		elicopnf 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B e. RR -> ( z e. ( B [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ B <_ z ) ) )
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( z e. ( B [,) +oo ) <-> ( z e. RR /\ B <_ z ) ) )
13	12	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. ( B [,) +oo ) ) -> ( z e. RR /\ B <_ z ) )
14	13	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( z e. ( B [,) +oo ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) ) -> ( z e. RR /\ B <_ z ) )
15	14	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( z e. ( B [,) +oo ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) ) -> z e. RR )
16	14	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( z e. ( B [,) +oo ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) ) -> B <_ z )
17		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( z e. ( B [,) +oo ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) ) -> z <_ x )
18	10, 15, 8, 16, 17	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( z e. ( B [,) +oo ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) ) -> B <_ x )
19		elicopnf 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B e. RR -> ( x e. ( B [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x ) ) )
20	10, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( z e. ( B [,) +oo ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) ) -> ( x e. ( B [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ B <_ x ) ) )
21	8, 18, 20	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( z e. ( B [,) +oo ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) ) -> x e. ( B [,) +oo ) )
22	21	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. ( B [,) +oo ) ) /\ ( x e. A /\ z <_ x ) ) -> x e. ( B [,) +oo ) )
23	22	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( B [,) +oo ) ) /\ x e. A ) /\ z <_ x ) -> x e. ( B [,) +oo ) )
24		biimt 350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y <-> ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. ( B [,) +oo ) ) /\ x e. A ) /\ z <_ x ) -> ( ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y <-> ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) )
26	25	pm5.74da 723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. ( B [,) +oo ) ) /\ x e. A ) -> ( ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) <-> ( z <_ x -> ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) ) )
27		bi2.04 376	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z <_ x -> ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) <-> ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) )
28	26, 27	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( B [,) +oo ) ) /\ x e. A ) -> ( ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) <-> ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) ) )
29	28	pm5.74da 723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( B [,) +oo ) ) -> ( ( x e. A -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) <-> ( x e. A -> ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) ) ) )
30		elin 3796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ x e. ( B [,) +oo ) ) )
31	30	imbi1i 339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) <-> ( ( x e. A /\ x e. ( B [,) +oo ) ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) )
32		impexp 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ x e. ( B [,) +oo ) ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) <-> ( x e. A -> ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) ) )
33	31, 32	bitri 264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) <-> ( x e. A -> ( x e. ( B [,) +oo ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) ) )
34	29, 33	syl6bbr 278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( B [,) +oo ) ) -> ( ( x e. A -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) <-> ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) -> ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) ) )
35	34	ralbidv2 2984	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( B [,) +oo ) ) -> ( A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) <-> A. x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) )
36	35	rexbidva 3049	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. ( B [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) <-> E. z e. ( B [,) +oo ) A. x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) )
37	36	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. RR+ E. z e. ( B [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. ( B [,) +oo ) A. x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) )
38	37	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. ( B [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. ( B [,) +oo ) A. x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) )
39		rlimresb.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : A --> CC )
40	39	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. CC )
41	40	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) e. CC )
42	41	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> A. x e. A ( F ` x ) e. CC )
43	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> A C_ RR )
44		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> C e. CC )
45	9	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> B e. RR )
46	42, 43, 44, 45	rlim3 14229	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) ~~> r C <-> A. y e. RR+ E. z e. ( B [,) +oo ) A. x e. A ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) )
47		inss1 3833	. . . . . . . . . 10 |- ( A i^i ( B [,) +oo ) ) C_ A
48	47	sseli 3599	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) -> x e. A )
49	48, 40	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
50	49	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ( F ` x ) e. CC )
51	50	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> A. x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ( F ` x ) e. CC )
52	47, 5	syl5ss 3614	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A i^i ( B [,) +oo ) ) C_ RR )
53	52	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( A i^i ( B [,) +oo ) ) C_ RR )
54	51, 53, 44, 45	rlim3 14229	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) ~~> r C <-> A. y e. RR+ E. z e. ( B [,) +oo ) A. x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ( z <_ x -> ( abs ` ( ( F ` x ) - C ) ) < y ) ) )
55	38, 46, 54	3bitr4d 300	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. CC ) -> ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) ~~> r C <-> ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) ~~> r C ) )
56	55	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( C e. CC -> ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) ~~> r C <-> ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) ~~> r C ) ) )
57	2, 4, 56	pm5.21ndd 369	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) ~~> r C <-> ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) ~~> r C ) )
58	39	feqmptd 6249	. . 3 |- ( ph -> F = ( x e. A |-> ( F ` x ) ) )
59	58	breq1d 4663	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> r C <-> ( x e. A |-> ( F ` x ) ) ~~> r C ) )
60		resres 5409	. . . 4 |- ( ( F |` A ) |` ( B [,) +oo ) ) = ( F |` ( A i^i ( B [,) +oo ) ) )
61		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( F : A --> CC -> F Fn A )
62		fnresdm 6000	. . . . . 6 |- ( F Fn A -> ( F |` A ) = F )
63	39, 61, 62	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` A ) = F )
64	63	reseq1d 5395	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F |` A ) |` ( B [,) +oo ) ) = ( F |` ( B [,) +oo ) ) )
65	58	reseq1d 5395	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ) = ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) |` ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ) )
66		resmpt 5449	. . . . . 6 |- ( ( A i^i ( B [,) +oo ) ) C_ A -> ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) |` ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ) = ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) )
67	47, 66	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) |` ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ) = ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) )
68	65, 67	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` ( A i^i ( B [,) +oo ) ) ) = ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) )
69	60, 64, 68	3eqtr3a 2680	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( B [,) +oo ) ) = ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) )
70	69	breq1d 4663	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( B [,) +oo ) ) ~~> r C <-> ( x e. ( A i^i ( B [,) +oo ) ) |-> ( F ` x ) ) ~~> r C ) )
71	57, 59, 70	3bitr4d 300	1 |- ( ph -> ( F ~~> r C <-> ( F |` ( B [,) +oo ) ) ~~> r C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   [,)cico 12177   abscabs 13974   ~~> r crli 14216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  rlimeq  14300  rlimcnp2  24693  cxp2lim  24703  pnt2  25302  pnt  25303