Theorem rlimcnp 24692

Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function S ( y ) = R ( 1 / y ) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcnp.a	|- ( ph -> A C_ ( 0 [,) +oo ) )
rlimcnp.0	|- ( ph -> 0 e. A )
rlimcnp.b	|- ( ph -> B C_ RR+ )
rlimcnp.r	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. CC )
rlimcnp.d	|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. A <-> ( 1 / x ) e. B ) )
rlimcnp.c	|- ( x = 0 -> R = C )
rlimcnp.s	|- ( x = ( 1 / y ) -> R = S )
rlimcnp.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
rlimcnp.k	|- K = ( J ↾t A )

Assertion

Ref	Expression
rlimcnp	|- ( ph -> ( ( y e. B |-> S ) ~~> r C <-> ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` 0 ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   ph, x, y   y, R   x, S

Allowed substitution hints:   R( x)   S( y)   J( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem rlimcnp

Dummy variables w r z t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpreccl 11857	. . . . . . . . 9 |- ( r e. RR+ -> ( 1 / r ) e. RR+ )
2	1	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( 1 / r ) e. RR+ )
3		rpreccl 11857	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. RR+ -> ( 1 / t ) e. RR+ )
4	3	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( 1 / t ) e. RR+ )
5		rpcnne0 11850	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. RR+ -> ( t e. CC /\ t =/= 0 ) )
6	5	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( t e. CC /\ t =/= 0 ) )
7		recrec 10722	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t e. CC /\ t =/= 0 ) -> ( 1 / ( 1 / t ) ) = t )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( 1 / ( 1 / t ) ) = t )
9	8	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> t = ( 1 / ( 1 / t ) ) )
10		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( 1 / t ) -> ( 1 / r ) = ( 1 / ( 1 / t ) ) )
11	10	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( 1 / t ) -> ( t = ( 1 / r ) <-> t = ( 1 / ( 1 / t ) ) ) )
12	11	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / t ) e. RR+ /\ t = ( 1 / ( 1 / t ) ) ) -> E. r e. RR+ t = ( 1 / r ) )
13	4, 9, 12	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> E. r e. RR+ t = ( 1 / r ) )
14		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t = ( 1 / r ) ) -> t = ( 1 / r ) )
15	14	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t = ( 1 / r ) ) -> ( t < y <-> ( 1 / r ) < y ) )
16	15	imbi1d 331	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t = ( 1 / r ) ) -> ( ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
17	16	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t = ( 1 / r ) ) -> ( A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
18	2, 13, 17	rexxfrd 4881	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> E. r e. RR+ A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
19	18	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. RR+ ) -> ( E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> E. r e. RR+ A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
20		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. B ) -> r e. RR+ )
21		rlimcnp.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B C_ RR+ )
22	21	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> y e. RR+ )
23	22	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. B ) -> y e. RR+ )
24		elrp 11834	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r e. RR+ <-> ( r e. RR /\ 0 < r ) )
25		elrp 11834	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR+ <-> ( y e. RR /\ 0 < y ) )
26		ltrec1 10910	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. RR /\ 0 < r ) /\ ( y e. RR /\ 0 < y ) ) -> ( ( 1 / r ) < y <-> ( 1 / y ) < r ) )
27	24, 25, 26	syl2anb 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( r e. RR+ /\ y e. RR+ ) -> ( ( 1 / r ) < y <-> ( 1 / y ) < r ) )
28	20, 23, 27	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. B ) -> ( ( 1 / r ) < y <-> ( 1 / y ) < r ) )
29	28	imbi1d 331	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. B ) -> ( ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> ( ( 1 / y ) < r -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
30	29	ralbidva 2985	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> A. y e. B ( ( 1 / y ) < r -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
31	30	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> A. y e. B ( ( 1 / y ) < r -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
32		rpcn 11841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. RR+ -> y e. CC )
33		rpne0 11848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. RR+ -> y =/= 0 )
34	32, 33	recrecd 10798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR+ -> ( 1 / ( 1 / y ) ) = y )
35	22, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1 / ( 1 / y ) ) = y )
36		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> y e. B )
37	35, 36	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1 / ( 1 / y ) ) e. B )
38		rpreccl 11857	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR+ -> ( 1 / y ) e. RR+ )
39	22, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1 / y ) e. RR+ )
40		rlimcnp.d	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x e. A <-> ( 1 / x ) e. B ) )
41	40	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. RR+ ( x e. A <-> ( 1 / x ) e. B ) )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> A. x e. RR+ ( x e. A <-> ( 1 / x ) e. B ) )
43		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( x e. A <-> ( 1 / y ) e. A ) )
44		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( 1 / x ) = ( 1 / ( 1 / y ) ) )
45	44	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( ( 1 / x ) e. B <-> ( 1 / ( 1 / y ) ) e. B ) )
46	43, 45	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( ( x e. A <-> ( 1 / x ) e. B ) <-> ( ( 1 / y ) e. A <-> ( 1 / ( 1 / y ) ) e. B ) ) )
47	46	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / y ) e. RR+ -> ( A. x e. RR+ ( x e. A <-> ( 1 / x ) e. B ) -> ( ( 1 / y ) e. A <-> ( 1 / ( 1 / y ) ) e. B ) ) )
48	39, 42, 47	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( ( 1 / y ) e. A <-> ( 1 / ( 1 / y ) ) e. B ) )
49	37, 48	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1 / y ) e. A )
50	39	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1 / y ) =/= 0 )
51		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 / y ) e. ( A \ { 0 } ) <-> ( ( 1 / y ) e. A /\ ( 1 / y ) =/= 0 ) )
52	49, 50, 51	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1 / y ) e. ( A \ { 0 } ) )
53		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( A \ { 0 } ) -> x e. A )
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> x e. A )
55		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
56		rlimcnp.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A C_ ( 0 [,) +oo ) )
57	56	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A \ { 0 } ) C_ ( 0 [,) +oo ) )
58	57	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> x e. ( 0 [,) +oo ) )
59	55, 58	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> x e. RR )
60		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. RR
61		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- +oo e. RR*
62		elico2 12237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < +oo ) ) )
63	60, 61, 62	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x /\ x < +oo ) )
64	63	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ x )
65	58, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> 0 <_ x )
66		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( A \ { 0 } ) -> x =/= 0 )
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> x =/= 0 )
68	59, 65, 67	ne0gt0d 10174	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> 0 < x )
69	59, 68	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> x e. RR+ )
70	69, 40	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> ( x e. A <-> ( 1 / x ) e. B ) )
71	54, 70	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> ( 1 / x ) e. B )
72		rpcn 11841	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
73		rpne0 11848	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> x =/= 0 )
74	72, 73	recrecd 10798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR+ -> ( 1 / ( 1 / x ) ) = x )
75	69, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> ( 1 / ( 1 / x ) ) = x )
76	75	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> x = ( 1 / ( 1 / x ) ) )
77		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( 1 / x ) -> ( 1 / y ) = ( 1 / ( 1 / x ) ) )
78	77	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( 1 / x ) -> ( x = ( 1 / y ) <-> x = ( 1 / ( 1 / x ) ) ) )
79	78	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / x ) e. B /\ x = ( 1 / ( 1 / x ) ) ) -> E. y e. B x = ( 1 / y ) )
80	71, 76, 79	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A \ { 0 } ) ) -> E. y e. B x = ( 1 / y ) )
81		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( x < r <-> ( 1 / y ) < r ) )
82		rlimcnp.s	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( 1 / y ) -> R = S )
83	82	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( R - C ) = ( S - C ) )
84	83	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( abs ` ( R - C ) ) = ( abs ` ( S - C ) ) )
85	84	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( ( abs ` ( R - C ) ) < z <-> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) )
86	81, 85	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> ( ( 1 / y ) < r -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x = ( 1 / y ) ) -> ( ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> ( ( 1 / y ) < r -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
88	52, 80, 87	ralxfrd 4879	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. x e. ( A \ { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> A. y e. B ( ( 1 / y ) < r -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
89	88	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. ( A \ { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> A. y e. B ( ( 1 / y ) < r -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
90	31, 89	bitr4d 271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> A. x e. ( A \ { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
91		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. { 0 } -> x = 0 )
92	91	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> x = 0 )
93		rlimcnp.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = 0 -> R = C )
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> R = C )
95	94	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> ( R - C ) = ( C - C ) )
96		rlimcnp.0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 e. A )
97		rlimcnp.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. CC )
98	97	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. x e. A R e. CC )
99	93	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = 0 -> ( R e. CC <-> C e. CC ) )
100	99	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0 e. A -> ( A. x e. A R e. CC -> C e. CC ) )
101	96, 98, 100	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C e. CC )
102	101	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( C - C ) = 0 )
103	102	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> ( C - C ) = 0 )
104	95, 103	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> ( R - C ) = 0 )
105	104	abs00bd 14031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> ( abs ` ( R - C ) ) = 0 )
106		rpgt0 11844	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. RR+ -> 0 < z )
107	106	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> 0 < z )
108	105, 107	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> ( abs ` ( R - C ) ) < z )
109	108	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ x e. { 0 } ) -> ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) )
110	109	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. RR+ ) -> A. x e. { 0 } ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) )
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> A. x e. { 0 } ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) )
112	111	biantrud 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. ( A \ { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> ( A. x e. ( A \ { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) /\ A. x e. { 0 } ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) ) )
113		ralunb 3794	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. ( ( A \ { 0 } ) u. { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> ( A. x e. ( A \ { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) /\ A. x e. { 0 } ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
114	112, 113	syl6bbr 278	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. ( A \ { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> A. x e. ( ( A \ { 0 } ) u. { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
115		undif1 4043	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A \ { 0 } ) u. { 0 } ) = ( A u. { 0 } )
116	96	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> 0 e. A )
117	116	snssd 4340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> { 0 } C_ A )
118		ssequn2 3786	. . . . . . . . . . 11 |- ( { 0 } C_ A <-> ( A u. { 0 } ) = A )
119	117, 118	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A u. { 0 } ) = A )
120	115, 119	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( A \ { 0 } ) u. { 0 } ) = A )
121	120	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. ( ( A \ { 0 } ) u. { 0 } ) ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) <-> A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
122	90, 114, 121	3bitrd 294	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. RR+ ) /\ r e. RR+ ) -> ( A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
123	122	rexbidva 3049	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. RR+ ) -> ( E. r e. RR+ A. y e. B ( ( 1 / r ) < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> E. r e. RR+ A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
124	19, 123	bitrd 268	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. RR+ ) -> ( E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> E. r e. RR+ A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
125	124	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( ph -> ( A. z e. RR+ E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
126		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r
127		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( ( x e. A |-> R ) ` w )
128		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( abs o. - )
129		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( ( x e. A |-> R ) ` 0 )
130	127, 128, 129	nfov 6676	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) )
131		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x <
132		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x z
133	130, 131, 132	nfbr 4699	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z
134	126, 133	nfim 1825	. . . . . . . 8 |- F/ x ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z )
135		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ w ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z )
136		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) = ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) )
137	136	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r <-> ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r ) )
138		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = x -> ( ( x e. A |-> R ) ` w ) = ( ( x e. A |-> R ) ` x ) )
139	138	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) = ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) )
140	139	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z <-> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) )
141	137, 140	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) ) )
142	134, 135, 141	cbvral 3167	. . . . . . 7 |- ( A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> A. x e. A ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) )
143		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
144	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 e. A )
145	143, 144	ovresd 6801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) = ( x ( abs o. - ) 0 ) )
146	56, 55	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ RR )
147		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR C_ CC
148	146, 147	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A C_ CC )
149	148	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. CC )
150		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 e. CC )
151		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
152	151	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( x - 0 ) ) )
153	149, 150, 152	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( x ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( x - 0 ) ) )
154	149	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( x - 0 ) = x )
155	154	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( x - 0 ) ) = ( abs ` x ) )
156	145, 153, 155	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) = ( abs ` x ) )
157	146	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. RR )
158	56	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. ( 0 [,) +oo ) )
159	158, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ x )
160	157, 159	absidd 14161	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` x ) = x )
161	156, 160	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) = x )
162	161	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r <-> x < r ) )
163		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A |-> R ) = ( x e. A |-> R )
164	163	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ R e. CC ) -> ( ( x e. A |-> R ) ` x ) = R )
165	143, 97, 164	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> R ) ` x ) = R )
166	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
167	93, 163	fvmptg 6280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. A /\ C e. CC ) -> ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) = C )
168	144, 166, 167	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) = C )
169	165, 168	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) = ( R ( abs o. - ) C ) )
170	151	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. CC /\ C e. CC ) -> ( R ( abs o. - ) C ) = ( abs ` ( R - C ) ) )
171	97, 166, 170	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( R ( abs o. - ) C ) = ( abs ` ( R - C ) ) )
172	169, 171	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) = ( abs ` ( R - C ) ) )
173	172	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z <-> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) )
174	162, 173	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
175	174	ralbidva 2985	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. x e. A ( ( x ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
176	142, 175	syl5bb 272	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
177	176	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. r e. RR+ A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> E. r e. RR+ A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
178	177	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( ph -> ( A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. x e. A ( x < r -> ( abs ` ( R - C ) ) < z ) ) )
179	97, 163	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> R ) : A --> CC )
180	179	biantrurd 529	. . . 4 |- ( ph -> ( A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) <-> ( ( x e. A |-> R ) : A --> CC /\ A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) ) ) )
181	125, 178, 180	3bitr2d 296	. . 3 |- ( ph -> ( A. z e. RR+ E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) <-> ( ( x e. A |-> R ) : A --> CC /\ A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) ) ) )
182	98	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> A. x e. A R e. CC )
183	82	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( R e. CC <-> S e. CC ) )
184	183	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / y ) e. A -> ( A. x e. A R e. CC -> S e. CC ) )
185	49, 182, 184	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> S e. CC )
186	185	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. B S e. CC )
187		rpssre 11843	. . . . . . 7 |- RR+ C_ RR
188	21, 187	syl6ss 3615	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ RR )
189		1red 10055	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
190	186, 188, 101, 189	rlim3 14229	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. B |-> S ) ~~> r C <-> A. z e. RR+ E. t e. ( 1 [,) +oo ) A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
191		0xr 10086	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR*
192		0lt1 10550	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
193		df-ioo 12179	. . . . . . . . . . 11 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
194		df-ico 12181	. . . . . . . . . . 11 |- [,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } )
195		xrltletr 11988	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ w ) -> 0 < w ) )
196	193, 194, 195	ixxss1 12193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ 0 < 1 ) -> ( 1 [,) +oo ) C_ ( 0 (,) +oo ) )
197	191, 192, 196	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( 1 [,) +oo ) C_ ( 0 (,) +oo )
198		ioorp 12251	. . . . . . . . 9 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
199	197, 198	sseqtri 3637	. . . . . . . 8 |- ( 1 [,) +oo ) C_ RR+
200		ssrexv 3667	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 [,) +oo ) C_ RR+ -> ( E. t e. ( 1 [,) +oo ) A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> E. t e. RR+ A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
201	199, 200	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( E. t e. ( 1 [,) +oo ) A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> E. t e. RR+ A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) )
202		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ y e. B ) -> t e. RR+ )
203	187, 202	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ y e. B ) -> t e. RR )
204	188	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> B C_ RR )
205	204	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ y e. B ) -> y e. RR )
206		ltle 10126	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t e. RR /\ y e. RR ) -> ( t < y -> t <_ y ) )
207	203, 205, 206	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ y e. B ) -> ( t < y -> t <_ y ) )
208	207	imim1d 82	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ y e. B ) -> ( ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
209	208	ralimdva 2962	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
210	209	reximdva 3017	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. t e. RR+ A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
211	201, 210	syl5 34	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. t e. ( 1 [,) +oo ) A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
212	211	ralimdv 2963	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. RR+ E. t e. ( 1 [,) +oo ) A. y e. B ( t <_ y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> A. z e. RR+ E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
213	190, 212	sylbid 230	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y e. B |-> S ) ~~> r C -> A. z e. RR+ E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
214		ssrexv 3667	. . . . . . 7 |- ( RR+ C_ RR -> ( E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> E. t e. RR A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
215	187, 214	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> E. t e. RR A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) )
216	215	ralimi 2952	. . . . 5 |- ( A. z e. RR+ E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> A. z e. RR+ E. t e. RR A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) )
217	186, 188, 101	rlim2lt 14228	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. B |-> S ) ~~> r C <-> A. z e. RR+ E. t e. RR A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
218	216, 217	syl5ibr 236	. . . 4 |- ( ph -> ( A. z e. RR+ E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) -> ( y e. B |-> S ) ~~> r C ) )
219	213, 218	impbid 202	. . 3 |- ( ph -> ( ( y e. B |-> S ) ~~> r C <-> A. z e. RR+ E. t e. RR+ A. y e. B ( t < y -> ( abs ` ( S - C ) ) < z ) ) )
220		cnxmet 22576	. . . . 5 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
221		xmetres2 22166	. . . . 5 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
222	220, 148, 221	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) )
223	220	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
224		eqid 2622	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) )
225		rlimcnp.j	. . . . . 6 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
226	225	cnfldtopn 22585	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
227	224, 226	metcnp2 22347	. . . 4 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) e. ( *Met ` A ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. A ) -> ( ( x e. A |-> R ) e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP J ) ` 0 ) <-> ( ( x e. A |-> R ) : A --> CC /\ A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) ) ) )
228	222, 223, 96, 227	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> R ) e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP J ) ` 0 ) <-> ( ( x e. A |-> R ) : A --> CC /\ A. z e. RR+ E. r e. RR+ A. w e. A ( ( w ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) 0 ) < r -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` w ) ( abs o. - ) ( ( x e. A |-> R ) ` 0 ) ) < z ) ) ) )
229	181, 219, 228	3bitr4d 300	. 2 |- ( ph -> ( ( y e. B |-> S ) ~~> r C <-> ( x e. A |-> R ) e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP J ) ` 0 ) ) )
230		rlimcnp.k	. . . . . 6 |- K = ( J ↾t A )
231		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) )
232	231, 226, 224	metrest 22329	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ A C_ CC ) -> ( J ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
233	220, 148, 232	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( J ↾t A ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
234	230, 233	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ph -> K = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) )
235	234	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( K CnP J ) = ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP J ) )
236	235	fveq1d 6193	. . 3 |- ( ph -> ( ( K CnP J ) ` 0 ) = ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP J ) ` 0 ) )
237	236	eleq2d 2687	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` 0 ) <-> ( x e. A |-> R ) e. ( ( ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( A X. A ) ) ) CnP J ) ` 0 ) ) )
238	229, 237	bitr4d 271	1 |- ( ph -> ( ( y e. B |-> S ) ~~> r C <-> ( x e. A |-> R ) e. ( ( K CnP J ) ` 0 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   abscabs 13974   ~~> r crli 14216   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   *Metcxmt 19731   MetOpencmopn 19736  ℂ_fldccnfld 19746   CnP ccnp 21029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-rlim 14220  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cnp 21032

This theorem is referenced by:  rlimcnp2  24693