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Theorem rlim2lt 14228
Description: Use strictly less-than in place of less equal in the real limit predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim2.1 |- ( ph -> A. z e. A B e. CC )
rlim2.2 |- ( ph -> A C_ RR )
rlim2.3 |- ( ph -> C e. CC )
Assertion
Ref Expression
rlim2lt |- ( ph -> ( ( z e. A |-> B ) ~~> r C <-> A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y < z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y   x, C, y, z   ph, x, y
Allowed substitution hints:   ph( z)   B( z)
Proof of Theorem rlim2lt
Dummy variable w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlim2.1 . . . 4 |- ( ph -> A. z e. A B e. CC )
2 rlim2.2 . . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
3 rlim2.3 . . . 4 |- ( ph -> C e. CC )
41, 2, 3rlim2 14227 . . 3 |- ( ph -> ( ( z e. A |-> B ) ~~> r C <-> A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
5 simplr 792 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> y e. RR )
6 simpl 473 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ y e. RR ) -> A C_ RR )
76sselda 3603 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> z e. RR )
8 ltle 10126 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( y < z -> y <_ z ) )
95, 7, 8syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> ( y < z -> y <_ z ) )
109imim1d 82 . . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> ( ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> ( y < z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
1110ralimdva 2962 . . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ y e. RR ) -> ( A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> A. z e. A ( y < z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
122, 11sylan 488 . . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> A. z e. A ( y < z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
1312reximdva 3017 . . . 4 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> E. y e. RR A. z e. A ( y < z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
1413ralimdv 2963 . . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y < z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
154, 14sylbid 230 . 2 |- ( ph -> ( ( z e. A |-> B ) ~~> r C -> A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y < z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
16 peano2re 10209 . . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( y + 1 ) e. RR )
1716adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( y + 1 ) e. RR )
18 ltp1 10861 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR -> y < ( y + 1 ) )
1918ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> y < ( y + 1 ) )
2016ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ RR /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> ( y + 1 ) e. RR )
21 ltletr 10129 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( y < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) <_ z ) -> y < z ) )
225, 20, 7, 21syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> ( ( y < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) <_ z ) -> y < z ) )
2319, 22mpand 711 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> ( ( y + 1 ) <_ z -> y < z ) )
2423imim1d 82 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ y e. RR ) /\ z e. A ) -> ( ( y < z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> ( ( y + 1 ) <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
2524ralimdva 2962 . . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ y e. RR ) -> ( A. z e. A ( y < z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> A. z e. A ( ( y + 1 ) <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
262, 25sylan 488 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. z e. A ( y < z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> A. z e. A ( ( y + 1 ) <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
27 breq1 4656 . . . . . . . . 9 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( w <_ z <-> ( y + 1 ) <_ z ) )
2827imbi1d 331 . . . . . . . 8 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( ( w <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) <-> ( ( y + 1 ) <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
2928ralbidv 2986 . . . . . . 7 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( A. z e. A ( w <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) <-> A. z e. A ( ( y + 1 ) <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
3029rspcev 3309 . . . . . 6 |- ( ( ( y + 1 ) e. RR /\ A. z e. A ( ( y + 1 ) <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) -> E. w e. RR A. z e. A ( w <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) )
3117, 26, 30syl6an 568 . . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. z e. A ( y < z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> E. w e. RR A. z e. A ( w <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
3231rexlimdva 3031 . . . 4 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. z e. A ( y < z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> E. w e. RR A. z e. A ( w <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
3332ralimdv 2963 . . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y < z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. w e. RR A. z e. A ( w <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
341, 2, 3rlim2 14227 . . 3 |- ( ph -> ( ( z e. A |-> B ) ~~> r C <-> A. x e. RR+ E. w e. RR A. z e. A ( w <_ z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
3533, 34sylibrd 249 . 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y < z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) -> ( z e. A |-> B ) ~~> r C ) )
3615, 35impbid 202 1 |- ( ph -> ( ( z e. A |-> B ) ~~> r C <-> A. x e. RR+ E. y e. RR A. z e. A ( y < z -> ( abs ` ( B - C ) ) < x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> r crli 14216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-rlim 14220
This theorem is referenced by:  rlim0lt  14240  rlimcnp  24692  xrlimcnp  24695
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