Theorem seqomlem3 7547

Description: Lemma for seq_𝜔. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
seqomlem.a	|- Q = rec ( ( i e. om , v e. _V |-> <. suc i , ( i F v ) >. ) , <. (/) , ( _I ` I ) >. )

Assertion

Ref	Expression
seqomlem3	|- ( ( Q " om ) ` (/) ) = ( _I ` I )

Distinct variable groups:   Q, i, v   i, F, v

Allowed substitution hints:   I( v, i)

Proof of Theorem seqomlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7085	. . . . . . 7 |- (/) e. om
2		fvres 6207	. . . . . . 7 |- ( (/) e. om -> ( ( Q |` om ) ` (/) ) = ( Q ` (/) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( Q |` om ) ` (/) ) = ( Q ` (/) )
4		seqomlem.a	. . . . . . 7 |- Q = rec ( ( i e. om , v e. _V |-> <. suc i , ( i F v ) >. ) , <. (/) , ( _I ` I ) >. )
5	4	fveq1i 6192	. . . . . 6 |- ( Q ` (/) ) = ( rec ( ( i e. om , v e. _V |-> <. suc i , ( i F v ) >. ) , <. (/) , ( _I ` I ) >. ) ` (/) )
6		opex 4932	. . . . . . 7 |- <. (/) , ( _I ` I ) >. e. _V
7	6	rdg0 7517	. . . . . 6 |- ( rec ( ( i e. om , v e. _V |-> <. suc i , ( i F v ) >. ) , <. (/) , ( _I ` I ) >. ) ` (/) ) = <. (/) , ( _I ` I ) >.
8	3, 5, 7	3eqtri 2648	. . . . 5 |- ( ( Q |` om ) ` (/) ) = <. (/) , ( _I ` I ) >.
9		frfnom 7530	. . . . . . 7 |- ( rec ( ( i e. om , v e. _V |-> <. suc i , ( i F v ) >. ) , <. (/) , ( _I ` I ) >. ) |` om ) Fn om
10	4	reseq1i 5392	. . . . . . . 8 |- ( Q |` om ) = ( rec ( ( i e. om , v e. _V |-> <. suc i , ( i F v ) >. ) , <. (/) , ( _I ` I ) >. ) |` om )
11	10	fneq1i 5985	. . . . . . 7 |- ( ( Q |` om ) Fn om <-> ( rec ( ( i e. om , v e. _V |-> <. suc i , ( i F v ) >. ) , <. (/) , ( _I ` I ) >. ) |` om ) Fn om )
12	9, 11	mpbir 221	. . . . . 6 |- ( Q |` om ) Fn om
13		fnfvelrn 6356	. . . . . 6 |- ( ( ( Q |` om ) Fn om /\ (/) e. om ) -> ( ( Q |` om ) ` (/) ) e. ran ( Q |` om ) )
14	12, 1, 13	mp2an 708	. . . . 5 |- ( ( Q |` om ) ` (/) ) e. ran ( Q |` om )
15	8, 14	eqeltrri 2698	. . . 4 |- <. (/) , ( _I ` I ) >. e. ran ( Q |` om )
16		df-ima 5127	. . . 4 |- ( Q " om ) = ran ( Q |` om )
17	15, 16	eleqtrri 2700	. . 3 |- <. (/) , ( _I ` I ) >. e. ( Q " om )
18		df-br 4654	. . 3 |- ( (/) ( Q " om ) ( _I ` I ) <-> <. (/) , ( _I ` I ) >. e. ( Q " om ) )
19	17, 18	mpbir 221	. 2 |- (/) ( Q " om ) ( _I ` I )
20	4	seqomlem2 7546	. . 3 |- ( Q " om ) Fn om
21		fnbrfvb 6236	. . 3 |- ( ( ( Q " om ) Fn om /\ (/) e. om ) -> ( ( ( Q " om ) ` (/) ) = ( _I ` I ) <-> (/) ( Q " om ) ( _I ` I ) ) )
22	20, 1, 21	mp2an 708	. 2 |- ( ( ( Q " om ) ` (/) ) = ( _I ` I ) <-> (/) ( Q " om ) ( _I ` I ) )
23	19, 22	mpbir 221	1 |- ( ( Q " om ) ` (/) ) = ( _I ` I )

Syntax hints:   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   <.cop 4183   class class class wbr 4653   _I cid 5023   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   reccrdg 7505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506

This theorem is referenced by:  seqom0g  7551