Theorem setinds 31683

Description: Principle of _E induction (set induction). If a property passes from all elements of x to x itself, then it holds for all x. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
setinds.1	|- ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph )

Assertion

Ref	Expression
setinds	|- ph

Distinct variable groups:   ph, y   x, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem setinds

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. 2 |- x e. _V
2		setind 8610	. . . . 5 |- ( A. z ( z C_ { x | ph } -> z e. { x | ph } ) -> { x | ph } = _V )
3		dfss3 3592	. . . . . . 7 |- ( z C_ { x | ph } <-> A. y e. z y e. { x | ph } )
4		df-sbc 3436	. . . . . . . . 9 |- ( [. y / x ]. ph <-> y e. { x | ph } )
5	4	ralbii 2980	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. z [. y / x ]. ph <-> A. y e. z y e. { x | ph } )
6		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x z
7		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [. y / x ]. ph
8	6, 7	nfral 2945	. . . . . . . . . 10 |- F/ x A. y e. z [. y / x ]. ph
9		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [. z / x ]. ph
10	8, 9	nfim 1825	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( A. y e. z [. y / x ]. ph -> [. z / x ]. ph )
11		raleq 3138	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( A. y e. x [. y / x ]. ph <-> A. y e. z [. y / x ]. ph ) )
12		sbceq1a 3446	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ph <-> [. z / x ]. ph ) )
13	11, 12	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph ) <-> ( A. y e. z [. y / x ]. ph -> [. z / x ]. ph ) ) )
14		setinds.1	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. x [. y / x ]. ph -> ph )
15	10, 13, 14	chvar 2262	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. z [. y / x ]. ph -> [. z / x ]. ph )
16	5, 15	sylbir 225	. . . . . . 7 |- ( A. y e. z y e. { x | ph } -> [. z / x ]. ph )
17	3, 16	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( z C_ { x | ph } -> [. z / x ]. ph )
18		df-sbc 3436	. . . . . 6 |- ( [. z / x ]. ph <-> z e. { x | ph } )
19	17, 18	sylib 208	. . . . 5 |- ( z C_ { x | ph } -> z e. { x | ph } )
20	2, 19	mpg 1724	. . . 4 |- { x | ph } = _V
21	20	eqcomi 2631	. . 3 |- _V = { x | ph }
22	21	abeq2i 2735	. 2 |- ( x e. _V <-> ph )
23	1, 22	mpbi 220	1 |- ph

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   C_ wss 3574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506

This theorem is referenced by:  setinds2f  31684