Theorem snopfsupp 8298

Description: A singleton containing an ordered pair is a finitely supported function. (Contributed by AV, 19-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
snopfsupp	|- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. U ) -> { <. X , Y >. } finSupp Z )

Proof of Theorem snopfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 8038	. . . 4 |- { X } e. Fin
2		snopsuppss 7310	. . . 4 |- ( { <. X , Y >. } supp Z ) C_ { X }
3	1, 2	pm3.2i 471	. . 3 |- ( { X } e. Fin /\ ( { <. X , Y >. } supp Z ) C_ { X } )
4		ssfi 8180	. . 3 |- ( ( { X } e. Fin /\ ( { <. X , Y >. } supp Z ) C_ { X } ) -> ( { <. X , Y >. } supp Z ) e. Fin )
5	3, 4	mp1i 13	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. U ) -> ( { <. X , Y >. } supp Z ) e. Fin )
6		funsng 5937	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> Fun { <. X , Y >. } )
7	6	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. U ) -> Fun { <. X , Y >. } )
8		snex 4908	. . . 4 |- { <. X , Y >. } e. _V
9	8	a1i 11	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. U ) -> { <. X , Y >. } e. _V )
10		simp3 1063	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. U ) -> Z e. U )
11		funisfsupp 8280	. . 3 |- ( ( Fun { <. X , Y >. } /\ { <. X , Y >. } e. _V /\ Z e. U ) -> ( { <. X , Y >. } finSupp Z <-> ( { <. X , Y >. } supp Z ) e. Fin ) )
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. U ) -> ( { <. X , Y >. } finSupp Z <-> ( { <. X , Y >. } supp Z ) e. Fin ) )
13	5, 12	mpbird 247	1 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. U ) -> { <. X , Y >. } finSupp Z )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   Fun wfun 5882  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-supp 7296  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fsupp 8276

This theorem is referenced by:  funsnfsupp  8299