Theorem soisoi 6578

Description: Infer isomorphism from one direction of an order proof for isomorphisms between strict orders. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
soisoi	|- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> H Isom R , S ( A , B ) )

Distinct variable groups:   x, R, y   x, S, y   x, H, y   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem soisoi

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> H : A -onto-> B )
2		fof 6115	. . . . 5 |- ( H : A -onto-> B -> H : A --> B )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> H : A --> B )
4		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> R Or A )
5		sotrieq 5062	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or A /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a = b <-> -. ( a R b \/ b R a ) ) )
6	5	con2bid 344	. . . . . . . 8 |- ( ( R Or A /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( a R b \/ b R a ) <-> -. a = b ) )
7	4, 6	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( a R b \/ b R a ) <-> -. a = b ) )
8		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
9		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( x R y <-> a R y ) )
10		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> ( H ` x ) = ( H ` a ) )
11	10	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` a ) S ( H ` y ) ) )
12	9, 11	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = a -> ( ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( a R y -> ( H ` a ) S ( H ` y ) ) ) )
13		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = b -> ( a R y <-> a R b ) )
14		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = b -> ( H ` y ) = ( H ` b ) )
15	14	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = b -> ( ( H ` a ) S ( H ` y ) <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
16	13, 15	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = b -> ( ( a R y -> ( H ` a ) S ( H ` y ) ) <-> ( a R b -> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) )
17	12, 16	rspc2va 3323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. A /\ b e. A ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( a R b -> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
18	17	ancoms 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a R b -> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
19	8, 18	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a R b -> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
20		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> S Po B )
21		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> H : A -onto-> B )
22	21, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> H : A --> B )
23		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> b e. A )
24	22, 23	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( H ` b ) e. B )
25		poirr 5046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S Po B /\ ( H ` b ) e. B ) -> -. ( H ` b ) S ( H ` b ) )
26		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) <-> ( H ` b ) S ( H ` b ) ) )
27	26	notbid 308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> ( -. ( H ` a ) S ( H ` b ) <-> -. ( H ` b ) S ( H ` b ) ) )
28	25, 27	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S Po B /\ ( H ` b ) e. B ) -> ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
29	20, 24, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
30	29	con2d 129	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> -. ( H ` a ) = ( H ` b ) ) )
31	19, 30	syld 47	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a R b -> -. ( H ` a ) = ( H ` b ) ) )
32		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = b -> ( x R y <-> b R y ) )
33		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = b -> ( H ` x ) = ( H ` b ) )
34	33	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = b -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` b ) S ( H ` y ) ) )
35	32, 34	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = b -> ( ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( b R y -> ( H ` b ) S ( H ` y ) ) ) )
36		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = a -> ( b R y <-> b R a ) )
37		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = a -> ( H ` y ) = ( H ` a ) )
38	37	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = a -> ( ( H ` b ) S ( H ` y ) <-> ( H ` b ) S ( H ` a ) ) )
39	36, 38	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = a -> ( ( b R y -> ( H ` b ) S ( H ` y ) ) <-> ( b R a -> ( H ` b ) S ( H ` a ) ) ) )
40	35, 39	rspc2va 3323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. A /\ a e. A ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( b R a -> ( H ` b ) S ( H ` a ) ) )
41	40	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) /\ ( b e. A /\ a e. A ) ) -> ( b R a -> ( H ` b ) S ( H ` a ) ) )
42	41	ancom2s 844	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( b R a -> ( H ` b ) S ( H ` a ) ) )
43	8, 42	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( b R a -> ( H ` b ) S ( H ` a ) ) )
44		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> ( ( H ` b ) S ( H ` a ) <-> ( H ` b ) S ( H ` b ) ) )
45	44	notbid 308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> ( -. ( H ` b ) S ( H ` a ) <-> -. ( H ` b ) S ( H ` b ) ) )
46	25, 45	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S Po B /\ ( H ` b ) e. B ) -> ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> -. ( H ` b ) S ( H ` a ) ) )
47	20, 24, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> -. ( H ` b ) S ( H ` a ) ) )
48	47	con2d 129	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( H ` b ) S ( H ` a ) -> -. ( H ` a ) = ( H ` b ) ) )
49	43, 48	syld 47	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( b R a -> -. ( H ` a ) = ( H ` b ) ) )
50	31, 49	jaod 395	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( a R b \/ b R a ) -> -. ( H ` a ) = ( H ` b ) ) )
51	7, 50	sylbird 250	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( -. a = b -> -. ( H ` a ) = ( H ` b ) ) )
52	51	con4d 114	. . . . 5 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> a = b ) )
53	52	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> A. a e. A A. b e. A ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> a = b ) )
54		dff13 6512	. . . 4 |- ( H : A -1-1-> B <-> ( H : A --> B /\ A. a e. A A. b e. A ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> a = b ) ) )
55	3, 53, 54	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> H : A -1-1-> B )
56		df-f1o 5895	. . 3 |- ( H : A -1-1-onto-> B <-> ( H : A -1-1-> B /\ H : A -onto-> B ) )
57	55, 1, 56	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> H : A -1-1-onto-> B )
58		sotric 5061	. . . . . . 7 |- ( ( R Or A /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a R b <-> -. ( a = b \/ b R a ) ) )
59	58	con2bid 344	. . . . . 6 |- ( ( R Or A /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( a = b \/ b R a ) <-> -. a R b ) )
60	4, 59	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( a = b \/ b R a ) <-> -. a R b ) )
61		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( a = b -> ( H ` a ) = ( H ` b ) )
62	61	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( a = b -> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) <-> ( H ` b ) S ( H ` b ) ) )
63	62	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( -. ( H ` a ) S ( H ` b ) <-> -. ( H ` b ) S ( H ` b ) ) )
64	25, 63	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ( S Po B /\ ( H ` b ) e. B ) -> ( a = b -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
65	20, 24, 64	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a = b -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
66		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> a e. A )
67	22, 66	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( H ` a ) e. B )
68		po2nr 5048	. . . . . . . . 9 |- ( ( S Po B /\ ( ( H ` b ) e. B /\ ( H ` a ) e. B ) ) -> -. ( ( H ` b ) S ( H ` a ) /\ ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
69		imnan 438	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H ` b ) S ( H ` a ) -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) <-> -. ( ( H ` b ) S ( H ` a ) /\ ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
70	68, 69	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( S Po B /\ ( ( H ` b ) e. B /\ ( H ` a ) e. B ) ) -> ( ( H ` b ) S ( H ` a ) -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
71	20, 24, 67, 70	syl12anc 1324	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( H ` b ) S ( H ` a ) -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
72	43, 71	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( b R a -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
73	65, 72	jaod 395	. . . . 5 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( a = b \/ b R a ) -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
74	60, 73	sylbird 250	. . . 4 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( -. a R b -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
75	19, 74	impcon4bid 217	. . 3 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
76	75	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> A. a e. A A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
77		df-isom 5897	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. a e. A A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) )
78	57, 76, 77	sylanbrc 698	1 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> H Isom R , S ( A , B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   class class class wbr 4653   Po wpo 5033   Or wor 5034   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897

This theorem is referenced by:  ordtypelem8  8430  cantnf  8590  fin23lem27  9150  iccpnfhmeo  22744  xrhmeo  22745  logccv  24409  xrge0iifiso  29981