Theorem soisores 6577

Description: Express the condition of isomorphism on two strict orders for a function's restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
soisores	|- ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) ) -> ( ( F |` A ) Isom R , S ( A , ( F " A ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y   x, R, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   C( x, y)

Proof of Theorem soisores

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isorel 6576	. . . . 5 |- ( ( ( F |` A ) Isom R , S ( A , ( F " A ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x R y <-> ( ( F |` A ) ` x ) S ( ( F |` A ) ` y ) ) )
2		fvres 6207	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( ( F |` A ) ` x ) = ( F ` x ) )
3		fvres 6207	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> ( ( F |` A ) ` y ) = ( F ` y ) )
4	2, 3	breqan12d 4669	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ( F |` A ) ` x ) S ( ( F |` A ) ` y ) <-> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) )
5	4	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( F |` A ) Isom R , S ( A , ( F " A ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( ( F |` A ) ` x ) S ( ( F |` A ) ` y ) <-> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) )
6	1, 5	bitrd 268	. . . 4 |- ( ( ( F |` A ) Isom R , S ( A , ( F " A ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x R y <-> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) )
7	6	biimpd 219	. . 3 |- ( ( ( F |` A ) Isom R , S ( A , ( F " A ) ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) )
8	7	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( F |` A ) Isom R , S ( A , ( F " A ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) )
9		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( F : B --> C -> F Fn B )
10	9	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) ) -> F Fn B )
11		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) ) -> A C_ B )
12		fnssres 6004	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn B /\ A C_ B ) -> ( F |` A ) Fn A )
13	10, 11, 12	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) ) -> ( F |` A ) Fn A )
14	13	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) -> ( F |` A ) Fn A )
15		df-ima 5127	. . . . . . 7 |- ( F " A ) = ran ( F |` A )
16	15	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- ran ( F |` A ) = ( F " A )
17	16	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) -> ran ( F |` A ) = ( F " A ) )
18		fvres 6207	. . . . . . . . 9 |- ( z e. A -> ( ( F |` A ) ` z ) = ( F ` z ) )
19		fvres 6207	. . . . . . . . 9 |- ( w e. A -> ( ( F |` A ) ` w ) = ( F ` w ) )
20	18, 19	eqeqan12d 2638	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. A /\ w e. A ) -> ( ( ( F |` A ) ` z ) = ( ( F |` A ) ` w ) <-> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
21	20	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( F |` A ) ` z ) = ( ( F |` A ) ` w ) <-> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
22		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> z e. A )
23		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> w e. A )
24		simpl3 1066	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) )
25		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( x R y <-> z R y ) )
26		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
27	26	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) S ( F ` y ) <-> ( F ` z ) S ( F ` y ) ) )
28	25, 27	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) <-> ( z R y -> ( F ` z ) S ( F ` y ) ) ) )
29		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( z R y <-> z R w ) )
30		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = w -> ( F ` y ) = ( F ` w ) )
31	30	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( ( F ` z ) S ( F ` y ) <-> ( F ` z ) S ( F ` w ) ) )
32	29, 31	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( ( z R y -> ( F ` z ) S ( F ` y ) ) <-> ( z R w -> ( F ` z ) S ( F ` w ) ) ) )
33	28, 32	rspc2va 3323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. A /\ w e. A ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) -> ( z R w -> ( F ` z ) S ( F ` w ) ) )
34	22, 23, 24, 33	syl21anc 1325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( z R w -> ( F ` z ) S ( F ` w ) ) )
35		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( x R y <-> w R y ) )
36		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
37	36	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( ( F ` x ) S ( F ` y ) <-> ( F ` w ) S ( F ` y ) ) )
38	35, 37	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) <-> ( w R y -> ( F ` w ) S ( F ` y ) ) ) )
39		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( w R y <-> w R z ) )
40		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
41	40	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( ( F ` w ) S ( F ` y ) <-> ( F ` w ) S ( F ` z ) ) )
42	39, 41	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( ( w R y -> ( F ` w ) S ( F ` y ) ) <-> ( w R z -> ( F ` w ) S ( F ` z ) ) ) )
43	38, 42	rspc2va 3323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( w e. A /\ z e. A ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) -> ( w R z -> ( F ` w ) S ( F ` z ) ) )
44	23, 22, 24, 43	syl21anc 1325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( w R z -> ( F ` w ) S ( F ` z ) ) )
45	34, 44	orim12d 883	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( z R w \/ w R z ) -> ( ( F ` z ) S ( F ` w ) \/ ( F ` w ) S ( F ` z ) ) ) )
46	45	con3d 148	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( -. ( ( F ` z ) S ( F ` w ) \/ ( F ` w ) S ( F ` z ) ) -> -. ( z R w \/ w R z ) ) )
47		simpl1r 1113	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> S Or C )
48		simpl2l 1114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> F : B --> C )
49		simpl2r 1115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> A C_ B )
50	49, 22	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> z e. B )
51	48, 50	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( F ` z ) e. C )
52	49, 23	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> w e. B )
53	48, 52	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( F ` w ) e. C )
54		sotrieq 5062	. . . . . . . . 9 |- ( ( S Or C /\ ( ( F ` z ) e. C /\ ( F ` w ) e. C ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> -. ( ( F ` z ) S ( F ` w ) \/ ( F ` w ) S ( F ` z ) ) ) )
55	47, 51, 53, 54	syl12anc 1324	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> -. ( ( F ` z ) S ( F ` w ) \/ ( F ` w ) S ( F ` z ) ) ) )
56		simpl1l 1112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> R Or B )
57		sotrieq 5062	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or B /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( z = w <-> -. ( z R w \/ w R z ) ) )
58	56, 50, 52, 57	syl12anc 1324	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( z = w <-> -. ( z R w \/ w R z ) ) )
59	46, 55, 58	3imtr4d 283	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) )
60	21, 59	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( F |` A ) ` z ) = ( ( F |` A ) ` w ) -> z = w ) )
61	60	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) -> A. z e. A A. w e. A ( ( ( F |` A ) ` z ) = ( ( F |` A ) ` w ) -> z = w ) )
62		dff1o6 6531	. . . . 5 |- ( ( F |` A ) : A -1-1-onto-> ( F " A ) <-> ( ( F |` A ) Fn A /\ ran ( F |` A ) = ( F " A ) /\ A. z e. A A. w e. A ( ( ( F |` A ) ` z ) = ( ( F |` A ) ` w ) -> z = w ) ) )
63	14, 17, 61, 62	syl3anbrc 1246	. . . 4 |- ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) -> ( F |` A ) : A -1-1-onto-> ( F " A ) )
64		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( F ` z ) = ( F ` w ) )
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( z = w -> ( F ` z ) = ( F ` w ) ) )
66	65, 44	orim12d 883	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( z = w \/ w R z ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) \/ ( F ` w ) S ( F ` z ) ) ) )
67	66	con3d 148	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( -. ( ( F ` z ) = ( F ` w ) \/ ( F ` w ) S ( F ` z ) ) -> -. ( z = w \/ w R z ) ) )
68		sotric 5061	. . . . . . . . 9 |- ( ( S Or C /\ ( ( F ` z ) e. C /\ ( F ` w ) e. C ) ) -> ( ( F ` z ) S ( F ` w ) <-> -. ( ( F ` z ) = ( F ` w ) \/ ( F ` w ) S ( F ` z ) ) ) )
69	47, 51, 53, 68	syl12anc 1324	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( F ` z ) S ( F ` w ) <-> -. ( ( F ` z ) = ( F ` w ) \/ ( F ` w ) S ( F ` z ) ) ) )
70		sotric 5061	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or B /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( z R w <-> -. ( z = w \/ w R z ) ) )
71	56, 50, 52, 70	syl12anc 1324	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( z R w <-> -. ( z = w \/ w R z ) ) )
72	67, 69, 71	3imtr4d 283	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( F ` z ) S ( F ` w ) -> z R w ) )
73	34, 72	impbid 202	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( z R w <-> ( F ` z ) S ( F ` w ) ) )
74	18, 19	breqan12d 4669	. . . . . . 7 |- ( ( z e. A /\ w e. A ) -> ( ( ( F |` A ) ` z ) S ( ( F |` A ) ` w ) <-> ( F ` z ) S ( F ` w ) ) )
75	74	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( F |` A ) ` z ) S ( ( F |` A ) ` w ) <-> ( F ` z ) S ( F ` w ) ) )
76	73, 75	bitr4d 271	. . . . 5 |- ( ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) /\ ( z e. A /\ w e. A ) ) -> ( z R w <-> ( ( F |` A ) ` z ) S ( ( F |` A ) ` w ) ) )
77	76	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) -> A. z e. A A. w e. A ( z R w <-> ( ( F |` A ) ` z ) S ( ( F |` A ) ` w ) ) )
78		df-isom 5897	. . . 4 |- ( ( F |` A ) Isom R , S ( A , ( F " A ) ) <-> ( ( F |` A ) : A -1-1-onto-> ( F " A ) /\ A. z e. A A. w e. A ( z R w <-> ( ( F |` A ) ` z ) S ( ( F |` A ) ` w ) ) ) )
79	63, 77, 78	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) -> ( F |` A ) Isom R , S ( A , ( F " A ) ) )
80	79	3expia 1267	. 2 |- ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) -> ( F |` A ) Isom R , S ( A , ( F " A ) ) ) )
81	8, 80	impbid2 216	1 |- ( ( ( R Or B /\ S Or C ) /\ ( F : B --> C /\ A C_ B ) ) -> ( ( F |` A ) Isom R , S ( A , ( F " A ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( F ` x ) S ( F ` y ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   Or wor 5034   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897

This theorem is referenced by:  isercolllem1  14395  dvgt0lem2  23766  erdszelem4  31176  erdszelem8  31180  erdsze2lem2  31186