Theorem erdsze2lem2 31186

Description: Lemma for erdsze2 31187. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
erdsze2.r	|- ( ph -> R e. NN )
erdsze2.s	|- ( ph -> S e. NN )
erdsze2.f	|- ( ph -> F : A -1-1-> RR )
erdsze2.a	|- ( ph -> A C_ RR )
erdsze2lem.n	|- N = ( ( R - 1 ) x. ( S - 1 ) )
erdsze2lem.l	|- ( ph -> N < ( # ` A ) )
erdsze2lem.g	|- ( ph -> G : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-> A )
erdsze2lem.i	|- ( ph -> G Isom < , < ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) , ran G ) )

Assertion

Ref	Expression
erdsze2lem2	|- ( ph -> E. s e. ~P A ( ( R <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , < ( s , ( F " s ) ) ) \/ ( S <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , `' < ( s , ( F " s ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, s   F, s   G, s   R, s   S, s   N, s   ph, s

Proof of Theorem erdsze2lem2

Dummy variables t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erdsze2lem.n	. . . . 5 |- N = ( ( R - 1 ) x. ( S - 1 ) )
2		erdsze2.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. NN )
3		nnm1nn0 11334	. . . . . . 7 |- ( R e. NN -> ( R - 1 ) e. NN0 )
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R - 1 ) e. NN0 )
5		erdsze2.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. NN )
6		nnm1nn0 11334	. . . . . . 7 |- ( S e. NN -> ( S - 1 ) e. NN0 )
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S - 1 ) e. NN0 )
8	4, 7	nn0mulcld 11356	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( R - 1 ) x. ( S - 1 ) ) e. NN0 )
9	1, 8	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN0 )
10		nn0p1nn 11332	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
11	9, 10	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN )
12		erdsze2.f	. . . 4 |- ( ph -> F : A -1-1-> RR )
13		erdsze2lem.g	. . . 4 |- ( ph -> G : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-> A )
14		f1co 6110	. . . 4 |- ( ( F : A -1-1-> RR /\ G : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-> A ) -> ( F o. G ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-> RR )
15	12, 13, 14	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( F o. G ) : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-> RR )
16	9	nn0red 11352	. . . . 5 |- ( ph -> N e. RR )
17	16	ltp1d 10954	. . . 4 |- ( ph -> N < ( N + 1 ) )
18	1, 17	syl5eqbrr 4689	. . 3 |- ( ph -> ( ( R - 1 ) x. ( S - 1 ) ) < ( N + 1 ) )
19	11, 15, 2, 5, 18	erdsze 31184	. 2 |- ( ph -> E. t e. ~P ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( ( R <_ ( # ` t ) /\ ( ( F o. G ) |` t ) Isom < , < ( t , ( ( F o. G ) " t ) ) ) \/ ( S <_ ( # ` t ) /\ ( ( F o. G ) |` t ) Isom < , `' < ( t , ( ( F o. G ) " t ) ) ) ) )
20		selpw 4165	. . . 4 |- ( t e. ~P ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
21		imassrn 5477	. . . . . . . 8 |- ( G " t ) C_ ran G
22		f1f 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( G : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-> A -> G : ( 1 ... ( N + 1 ) ) --> A )
23	13, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : ( 1 ... ( N + 1 ) ) --> A )
24		frn 6053	. . . . . . . . 9 |- ( G : ( 1 ... ( N + 1 ) ) --> A -> ran G C_ A )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran G C_ A )
26	21, 25	syl5ss 3614	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G " t ) C_ A )
27		erdsze2.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ RR )
28		reex 10027	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
29		ssexg 4804	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ RR e. _V ) -> A e. _V )
30	27, 28, 29	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. _V )
31		elpw2g 4827	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( ( G " t ) e. ~P A <-> ( G " t ) C_ A ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G " t ) e. ~P A <-> ( G " t ) C_ A ) )
33	26, 32	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G " t ) e. ~P A )
34	33	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( G " t ) e. ~P A )
35		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- t e. _V
36	35	f1imaen 8018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-> A /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( G " t ) ~~ t )
37	13, 36	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( G " t ) ~~ t )
38		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( 1 ... ( N + 1 ) ) e. Fin )
39		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
40		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) e. Fin /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> t e. Fin )
41	38, 39, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> t e. Fin )
42		enfii 8177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t e. Fin /\ ( G " t ) ~~ t ) -> ( G " t ) e. Fin )
43	41, 37, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( G " t ) e. Fin )
44		hashen 13135	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G " t ) e. Fin /\ t e. Fin ) -> ( ( # ` ( G " t ) ) = ( # ` t ) <-> ( G " t ) ~~ t ) )
45	43, 41, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( # ` ( G " t ) ) = ( # ` t ) <-> ( G " t ) ~~ t ) )
46	37, 45	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( # ` ( G " t ) ) = ( # ` t ) )
47	46	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( R <_ ( # ` ( G " t ) ) <-> R <_ ( # ` t ) ) )
48	47	biimprd 238	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( R <_ ( # ` t ) -> R <_ ( # ` ( G " t ) ) ) )
49		erdsze2lem.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G Isom < , < ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) , ran G ) )
50	49	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) /\ ( x e. t /\ y e. t ) ) -> G Isom < , < ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) , ran G ) )
51	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) /\ ( x e. t /\ y e. t ) ) -> t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
52		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) /\ ( x e. t /\ y e. t ) ) -> x e. t )
53	51, 52	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) /\ ( x e. t /\ y e. t ) ) -> x e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
54		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) /\ ( x e. t /\ y e. t ) ) -> y e. t )
55	51, 54	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) /\ ( x e. t /\ y e. t ) ) -> y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
56		isorel 6576	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G Isom < , < ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) , ran G ) /\ ( x e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( x < y <-> ( G ` x ) < ( G ` y ) ) )
57	50, 53, 55, 56	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) /\ ( x e. t /\ y e. t ) ) -> ( x < y <-> ( G ` x ) < ( G ` y ) ) )
58	57	biimpd 219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) /\ ( x e. t /\ y e. t ) ) -> ( x < y -> ( G ` x ) < ( G ` y ) ) )
59	58	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> A. x e. t A. y e. t ( x < y -> ( G ` x ) < ( G ` y ) ) )
60		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> t e. NN )
61	60	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> t e. RR )
62	61	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... ( N + 1 ) ) C_ RR
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( 1 ... ( N + 1 ) ) C_ RR )
64		ltso 10118	. . . . . . . . . . . . 13 |- < Or RR
65		soss 5053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 ... ( N + 1 ) ) C_ RR -> ( < Or RR -> < Or ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
66	63, 64, 65	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> < Or ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
67	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> A C_ RR )
68		soss 5053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ RR -> ( < Or RR -> < Or A ) )
69	67, 64, 68	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> < Or A )
70	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> G : ( 1 ... ( N + 1 ) ) --> A )
71		soisores 6577	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( < Or ( 1 ... ( N + 1 ) ) /\ < Or A ) /\ ( G : ( 1 ... ( N + 1 ) ) --> A /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( G |` t ) Isom < , < ( t , ( G " t ) ) <-> A. x e. t A. y e. t ( x < y -> ( G ` x ) < ( G ` y ) ) ) )
72	66, 69, 70, 39, 71	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( G |` t ) Isom < , < ( t , ( G " t ) ) <-> A. x e. t A. y e. t ( x < y -> ( G ` x ) < ( G ` y ) ) ) )
73	59, 72	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( G |` t ) Isom < , < ( t , ( G " t ) ) )
74		isocnv 6580	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G |` t ) Isom < , < ( t , ( G " t ) ) -> `' ( G |` t ) Isom < , < ( ( G " t ) , t ) )
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> `' ( G |` t ) Isom < , < ( ( G " t ) , t ) )
76		isotr 6586	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' ( G |` t ) Isom < , < ( ( G " t ) , t ) /\ ( ( F o. G ) |` t ) Isom < , < ( t , ( ( F o. G ) " t ) ) ) -> ( ( ( F o. G ) |` t ) o. `' ( G |` t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( ( F o. G ) " t ) ) )
77	76	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( G |` t ) Isom < , < ( ( G " t ) , t ) -> ( ( ( F o. G ) |` t ) Isom < , < ( t , ( ( F o. G ) " t ) ) -> ( ( ( F o. G ) |` t ) o. `' ( G |` t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( ( F o. G ) " t ) ) ) )
78	75, 77	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( F o. G ) |` t ) Isom < , < ( t , ( ( F o. G ) " t ) ) -> ( ( ( F o. G ) |` t ) o. `' ( G |` t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( ( F o. G ) " t ) ) ) )
79		resco 5639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F o. G ) |` t ) = ( F o. ( G |` t ) )
80	79	coeq1i 5281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F o. G ) |` t ) o. `' ( G |` t ) ) = ( ( F o. ( G |` t ) ) o. `' ( G |` t ) )
81		coass 5654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F o. ( G |` t ) ) o. `' ( G |` t ) ) = ( F o. ( ( G |` t ) o. `' ( G |` t ) ) )
82	80, 81	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F o. G ) |` t ) o. `' ( G |` t ) ) = ( F o. ( ( G |` t ) o. `' ( G |` t ) ) )
83		f1ores 6151	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G : ( 1 ... ( N + 1 ) ) -1-1-> A /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( G |` t ) : t -1-1-onto-> ( G " t ) )
84	13, 83	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( G |` t ) : t -1-1-onto-> ( G " t ) )
85		f1ococnv2 6163	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G |` t ) : t -1-1-onto-> ( G " t ) -> ( ( G |` t ) o. `' ( G |` t ) ) = ( _I |` ( G " t ) ) )
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( G |` t ) o. `' ( G |` t ) ) = ( _I |` ( G " t ) ) )
87	86	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( F o. ( ( G |` t ) o. `' ( G |` t ) ) ) = ( F o. ( _I |` ( G " t ) ) ) )
88		coires1 5653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F o. ( _I |` ( G " t ) ) ) = ( F |` ( G " t ) )
89	87, 88	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( F o. ( ( G |` t ) o. `' ( G |` t ) ) ) = ( F |` ( G " t ) ) )
90	82, 89	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( F o. G ) |` t ) o. `' ( G |` t ) ) = ( F |` ( G " t ) ) )
91		isoeq1 6567	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F o. G ) |` t ) o. `' ( G |` t ) ) = ( F |` ( G " t ) ) -> ( ( ( ( F o. G ) |` t ) o. `' ( G |` t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( ( F o. G ) " t ) ) <-> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( ( F o. G ) " t ) ) ) )
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( F o. G ) |` t ) o. `' ( G |` t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( ( F o. G ) " t ) ) <-> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( ( F o. G ) " t ) ) ) )
93		imaco 5640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F o. G ) " t ) = ( F " ( G " t ) )
94		isoeq5 6571	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F o. G ) " t ) = ( F " ( G " t ) ) -> ( ( F |` ( G " t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( ( F o. G ) " t ) ) <-> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) ) )
95	93, 94	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( F |` ( G " t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( ( F o. G ) " t ) ) <-> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) )
96	92, 95	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( F o. G ) |` t ) o. `' ( G |` t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( ( F o. G ) " t ) ) <-> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) ) )
97	78, 96	sylibd 229	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( F o. G ) |` t ) Isom < , < ( t , ( ( F o. G ) " t ) ) -> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) ) )
98	48, 97	anim12d 586	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( R <_ ( # ` t ) /\ ( ( F o. G ) |` t ) Isom < , < ( t , ( ( F o. G ) " t ) ) ) -> ( R <_ ( # ` ( G " t ) ) /\ ( F |` ( G " t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) ) ) )
99	46	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( S <_ ( # ` ( G " t ) ) <-> S <_ ( # ` t ) ) )
100	99	biimprd 238	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( S <_ ( # ` t ) -> S <_ ( # ` ( G " t ) ) ) )
101		isotr 6586	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' ( G |` t ) Isom < , < ( ( G " t ) , t ) /\ ( ( F o. G ) |` t ) Isom < , `' < ( t , ( ( F o. G ) " t ) ) ) -> ( ( ( F o. G ) |` t ) o. `' ( G |` t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( ( F o. G ) " t ) ) )
102	101	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( G |` t ) Isom < , < ( ( G " t ) , t ) -> ( ( ( F o. G ) |` t ) Isom < , `' < ( t , ( ( F o. G ) " t ) ) -> ( ( ( F o. G ) |` t ) o. `' ( G |` t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( ( F o. G ) " t ) ) ) )
103	75, 102	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( F o. G ) |` t ) Isom < , `' < ( t , ( ( F o. G ) " t ) ) -> ( ( ( F o. G ) |` t ) o. `' ( G |` t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( ( F o. G ) " t ) ) ) )
104		isoeq1 6567	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F o. G ) |` t ) o. `' ( G |` t ) ) = ( F |` ( G " t ) ) -> ( ( ( ( F o. G ) |` t ) o. `' ( G |` t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( ( F o. G ) " t ) ) <-> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( ( F o. G ) " t ) ) ) )
105	90, 104	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( F o. G ) |` t ) o. `' ( G |` t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( ( F o. G ) " t ) ) <-> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( ( F o. G ) " t ) ) ) )
106		isoeq5 6571	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F o. G ) " t ) = ( F " ( G " t ) ) -> ( ( F |` ( G " t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( ( F o. G ) " t ) ) <-> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) ) )
107	93, 106	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( F |` ( G " t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( ( F o. G ) " t ) ) <-> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) )
108	105, 107	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( F o. G ) |` t ) o. `' ( G |` t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( ( F o. G ) " t ) ) <-> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) ) )
109	103, 108	sylibd 229	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( F o. G ) |` t ) Isom < , `' < ( t , ( ( F o. G ) " t ) ) -> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) ) )
110	100, 109	anim12d 586	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( S <_ ( # ` t ) /\ ( ( F o. G ) |` t ) Isom < , `' < ( t , ( ( F o. G ) " t ) ) ) -> ( S <_ ( # ` ( G " t ) ) /\ ( F |` ( G " t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) ) ) )
111	98, 110	orim12d 883	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( R <_ ( # ` t ) /\ ( ( F o. G ) |` t ) Isom < , < ( t , ( ( F o. G ) " t ) ) ) \/ ( S <_ ( # ` t ) /\ ( ( F o. G ) |` t ) Isom < , `' < ( t , ( ( F o. G ) " t ) ) ) ) -> ( ( R <_ ( # ` ( G " t ) ) /\ ( F |` ( G " t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) ) \/ ( S <_ ( # ` ( G " t ) ) /\ ( F |` ( G " t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) ) ) ) )
112		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( G " t ) -> ( # ` s ) = ( # ` ( G " t ) ) )
113	112	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( s = ( G " t ) -> ( R <_ ( # ` s ) <-> R <_ ( # ` ( G " t ) ) ) )
114		reseq2 5391	. . . . . . . . . 10 |- ( s = ( G " t ) -> ( F |` s ) = ( F |` ( G " t ) ) )
115		isoeq1 6567	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F |` s ) = ( F |` ( G " t ) ) -> ( ( F |` s ) Isom < , < ( s , ( F " s ) ) <-> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , < ( s , ( F " s ) ) ) )
116	114, 115	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( G " t ) -> ( ( F |` s ) Isom < , < ( s , ( F " s ) ) <-> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , < ( s , ( F " s ) ) ) )
117		isoeq4 6570	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( G " t ) -> ( ( F |` ( G " t ) ) Isom < , < ( s , ( F " s ) ) <-> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( F " s ) ) ) )
118		imaeq2 5462	. . . . . . . . . 10 |- ( s = ( G " t ) -> ( F " s ) = ( F " ( G " t ) ) )
119		isoeq5 6571	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F " s ) = ( F " ( G " t ) ) -> ( ( F |` ( G " t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( F " s ) ) <-> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) ) )
120	118, 119	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( G " t ) -> ( ( F |` ( G " t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( F " s ) ) <-> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) ) )
121	116, 117, 120	3bitrd 294	. . . . . . . 8 |- ( s = ( G " t ) -> ( ( F |` s ) Isom < , < ( s , ( F " s ) ) <-> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) ) )
122	113, 121	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( s = ( G " t ) -> ( ( R <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , < ( s , ( F " s ) ) ) <-> ( R <_ ( # ` ( G " t ) ) /\ ( F |` ( G " t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) ) ) )
123	112	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( s = ( G " t ) -> ( S <_ ( # ` s ) <-> S <_ ( # ` ( G " t ) ) ) )
124		isoeq1 6567	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F |` s ) = ( F |` ( G " t ) ) -> ( ( F |` s ) Isom < , `' < ( s , ( F " s ) ) <-> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , `' < ( s , ( F " s ) ) ) )
125	114, 124	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( G " t ) -> ( ( F |` s ) Isom < , `' < ( s , ( F " s ) ) <-> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , `' < ( s , ( F " s ) ) ) )
126		isoeq4 6570	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( G " t ) -> ( ( F |` ( G " t ) ) Isom < , `' < ( s , ( F " s ) ) <-> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( F " s ) ) ) )
127		isoeq5 6571	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F " s ) = ( F " ( G " t ) ) -> ( ( F |` ( G " t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( F " s ) ) <-> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) ) )
128	118, 127	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( G " t ) -> ( ( F |` ( G " t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( F " s ) ) <-> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) ) )
129	125, 126, 128	3bitrd 294	. . . . . . . 8 |- ( s = ( G " t ) -> ( ( F |` s ) Isom < , `' < ( s , ( F " s ) ) <-> ( F |` ( G " t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) ) )
130	123, 129	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( s = ( G " t ) -> ( ( S <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , `' < ( s , ( F " s ) ) ) <-> ( S <_ ( # ` ( G " t ) ) /\ ( F |` ( G " t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) ) ) )
131	122, 130	orbi12d 746	. . . . . 6 |- ( s = ( G " t ) -> ( ( ( R <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , < ( s , ( F " s ) ) ) \/ ( S <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , `' < ( s , ( F " s ) ) ) ) <-> ( ( R <_ ( # ` ( G " t ) ) /\ ( F |` ( G " t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) ) \/ ( S <_ ( # ` ( G " t ) ) /\ ( F |` ( G " t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) ) ) ) )
132	131	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( G " t ) e. ~P A /\ ( ( R <_ ( # ` ( G " t ) ) /\ ( F |` ( G " t ) ) Isom < , < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) ) \/ ( S <_ ( # ` ( G " t ) ) /\ ( F |` ( G " t ) ) Isom < , `' < ( ( G " t ) , ( F " ( G " t ) ) ) ) ) ) -> E. s e. ~P A ( ( R <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , < ( s , ( F " s ) ) ) \/ ( S <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , `' < ( s , ( F " s ) ) ) ) )
133	34, 111, 132	syl6an 568	. . . 4 |- ( ( ph /\ t C_ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( R <_ ( # ` t ) /\ ( ( F o. G ) |` t ) Isom < , < ( t , ( ( F o. G ) " t ) ) ) \/ ( S <_ ( # ` t ) /\ ( ( F o. G ) |` t ) Isom < , `' < ( t , ( ( F o. G ) " t ) ) ) ) -> E. s e. ~P A ( ( R <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , < ( s , ( F " s ) ) ) \/ ( S <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , `' < ( s , ( F " s ) ) ) ) ) )
134	20, 133	sylan2b 492	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. ~P ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( R <_ ( # ` t ) /\ ( ( F o. G ) |` t ) Isom < , < ( t , ( ( F o. G ) " t ) ) ) \/ ( S <_ ( # ` t ) /\ ( ( F o. G ) |` t ) Isom < , `' < ( t , ( ( F o. G ) " t ) ) ) ) -> E. s e. ~P A ( ( R <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , < ( s , ( F " s ) ) ) \/ ( S <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , `' < ( s , ( F " s ) ) ) ) ) )
135	134	rexlimdva 3031	. 2 |- ( ph -> ( E. t e. ~P ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( ( R <_ ( # ` t ) /\ ( ( F o. G ) |` t ) Isom < , < ( t , ( ( F o. G ) " t ) ) ) \/ ( S <_ ( # ` t ) /\ ( ( F o. G ) |` t ) Isom < , `' < ( t , ( ( F o. G ) " t ) ) ) ) -> E. s e. ~P A ( ( R <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , < ( s , ( F " s ) ) ) \/ ( S <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , `' < ( s , ( F " s ) ) ) ) ) )
136	19, 135	mpd 15	1 |- ( ph -> E. s e. ~P A ( ( R <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , < ( s , ( F " s ) ) ) \/ ( S <_ ( # ` s ) /\ ( F |` s ) Isom < , `' < ( s , ( F " s ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   _I cid 5023   Or wor 5034   `'ccnv 5113   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  erdsze2  31187