Theorem erdszelem4 31176

Description: Lemma for erdsze 31184. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
erdsze.n	|- ( ph -> N e. NN )
erdsze.f	|- ( ph -> F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
erdszelem.k	|- K = ( x e. ( 1 ... N ) |-> sup ( ( # " { y e. ~P ( 1 ... x ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ x e. y ) } ) , RR , < ) )
erdszelem.o	|- O Or RR

Assertion

Ref	Expression
erdszelem4	|- ( ( ph /\ A e. ( 1 ... N ) ) -> { A } e. { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, A, y   x, O, y   x, N, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   K( x, y)

Proof of Theorem erdszelem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 12370	. . . . 5 |- ( A e. ( 1 ... N ) -> A e. NN )
2	1	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. ( 1 ... N ) ) -> A e. NN )
3		elfz1end 12371	. . . 4 |- ( A e. NN <-> A e. ( 1 ... A ) )
4	2, 3	sylib 208	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. ( 1 ... N ) ) -> A e. ( 1 ... A ) )
5	4	snssd 4340	. 2 |- ( ( ph /\ A e. ( 1 ... N ) ) -> { A } C_ ( 1 ... A ) )
6		elsni 4194	. . . . . . 7 |- ( x e. { A } -> x = A )
7		elsni 4194	. . . . . . 7 |- ( y e. { A } -> y = A )
8	6, 7	breqan12d 4669	. . . . . 6 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { A } ) -> ( x < y <-> A < A ) )
9	8	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x e. { A } /\ y e. { A } ) ) -> ( x < y <-> A < A ) )
10		fzssuz 12382	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... N ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
11		uzssz 11707	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ
12		zssre 11384	. . . . . . . . . 10 |- ZZ C_ RR
13	11, 12	sstri 3612	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ RR
14	10, 13	sstri 3612	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... N ) C_ RR
15		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A e. ( 1 ... N ) ) -> A e. ( 1 ... N ) )
16	15	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x e. { A } /\ y e. { A } ) ) -> A e. ( 1 ... N ) )
17	14, 16	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x e. { A } /\ y e. { A } ) ) -> A e. RR )
18	17	ltnrd 10171	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x e. { A } /\ y e. { A } ) ) -> -. A < A )
19	18	pm2.21d 118	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x e. { A } /\ y e. { A } ) ) -> ( A < A -> ( F ` x ) O ( F ` y ) ) )
20	9, 19	sylbid 230	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A e. ( 1 ... N ) ) /\ ( x e. { A } /\ y e. { A } ) ) -> ( x < y -> ( F ` x ) O ( F ` y ) ) )
21	20	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. ( 1 ... N ) ) -> A. x e. { A } A. y e. { A } ( x < y -> ( F ` x ) O ( F ` y ) ) )
22		erdsze.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR )
23		f1f 6101	. . . . . 6 |- ( F : ( 1 ... N ) -1-1-> RR -> F : ( 1 ... N ) --> RR )
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( 1 ... N ) --> RR )
25	24	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. ( 1 ... N ) ) -> F : ( 1 ... N ) --> RR )
26	15	snssd 4340	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. ( 1 ... N ) ) -> { A } C_ ( 1 ... N ) )
27		ltso 10118	. . . . . 6 |- < Or RR
28		soss 5053	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... N ) C_ RR -> ( < Or RR -> < Or ( 1 ... N ) ) )
29	14, 27, 28	mp2 9	. . . . 5 |- < Or ( 1 ... N )
30		erdszelem.o	. . . . 5 |- O Or RR
31		soisores 6577	. . . . 5 |- ( ( ( < Or ( 1 ... N ) /\ O Or RR ) /\ ( F : ( 1 ... N ) --> RR /\ { A } C_ ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( F |` { A } ) Isom < , O ( { A } , ( F " { A } ) ) <-> A. x e. { A } A. y e. { A } ( x < y -> ( F ` x ) O ( F ` y ) ) ) )
32	29, 30, 31	mpanl12 718	. . . 4 |- ( ( F : ( 1 ... N ) --> RR /\ { A } C_ ( 1 ... N ) ) -> ( ( F |` { A } ) Isom < , O ( { A } , ( F " { A } ) ) <-> A. x e. { A } A. y e. { A } ( x < y -> ( F ` x ) O ( F ` y ) ) ) )
33	25, 26, 32	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F |` { A } ) Isom < , O ( { A } , ( F " { A } ) ) <-> A. x e. { A } A. y e. { A } ( x < y -> ( F ` x ) O ( F ` y ) ) ) )
34	21, 33	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ A e. ( 1 ... N ) ) -> ( F |` { A } ) Isom < , O ( { A } , ( F " { A } ) ) )
35		snidg 4206	. . 3 |- ( A e. ( 1 ... N ) -> A e. { A } )
36	35	adantl 482	. 2 |- ( ( ph /\ A e. ( 1 ... N ) ) -> A e. { A } )
37		eqid 2622	. . 3 |- { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } = { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) }
38	37	erdszelem1 31173	. 2 |- ( { A } e. { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } <-> ( { A } C_ ( 1 ... A ) /\ ( F |` { A } ) Isom < , O ( { A } , ( F " { A } ) ) /\ A e. { A } ) )
39	5, 34, 36, 38	syl3anbrc 1246	1 |- ( ( ph /\ A e. ( 1 ... N ) ) -> { A } e. { y e. ~P ( 1 ... A ) | ( ( F |` y ) Isom < , O ( y , ( F " y ) ) /\ A e. y ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   |` cres 5116   "cima 5117   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   1c1 9937   < clt 10074   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  erdszelem5  31177