Theorem isercolllem1 14395

Description: Lemma for isercoll 14398. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isercoll.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
isercoll.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
isercoll.g	|- ( ph -> G : NN --> Z )
isercoll.i	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) < ( G ` ( k + 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isercolllem1	|- ( ( ph /\ S C_ NN ) -> ( G |` S ) Isom < , < ( S , ( G " S ) ) )

Distinct variable groups:   ph, k   k, G   k, M

Allowed substitution hints:   S( k)   Z( k)

Proof of Theorem isercolllem1

Dummy variables n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isercoll.z	. . . . . . . . . . 11 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		uzssz 11707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
3	1, 2	eqsstri 3635	. . . . . . . . . 10 |- Z C_ ZZ
4		zssre 11384	. . . . . . . . . 10 |- ZZ C_ RR
5	3, 4	sstri 3612	. . . . . . . . 9 |- Z C_ RR
6		isercoll.g	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : NN --> Z )
7	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> G : NN --> Z )
8		simplrl 800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> x e. NN )
9	7, 8	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> ( G ` x ) e. Z )
10	5, 9	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> ( G ` x ) e. RR )
11		simplrr 801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> y e. NN )
12	11	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> y e. RR )
13	10, 12	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> ( ( G ` x ) - y ) e. RR )
14	8	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> x e. RR )
15	10, 14	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> ( ( G ` x ) - x ) e. RR )
16	7, 11	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> ( G ` y ) e. Z )
17	5, 16	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> ( G ` y ) e. RR )
18	17, 12	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> ( ( G ` y ) - y ) e. RR )
19		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> x < y )
20	14, 12, 10, 19	ltsub2dd 10640	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> ( ( G ` x ) - y ) < ( ( G ` x ) - x ) )
21	8	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> x e. ZZ )
22	11	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> y e. ZZ )
23	14, 12, 19	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> x <_ y )
24		eluz2 11693	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ZZ>= ` x ) <-> ( x e. ZZ /\ y e. ZZ /\ x <_ y ) )
25	21, 22, 23, 24	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> y e. ( ZZ>= ` x ) )
26		elfzuz 12338	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( x ... y ) -> k e. ( ZZ>= ` x ) )
27		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` x ) ) -> k e. NN )
28	8, 27	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. ( ZZ>= ` x ) ) -> k e. NN )
29		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( G ` n ) = ( G ` k ) )
30		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> n = k )
31	29, 30	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( ( G ` n ) - n ) = ( ( G ` k ) - k ) )
32		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) - n ) ) = ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) - n ) )
33		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G ` k ) - k ) e. _V
34	31, 32, 33	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) - n ) ) ` k ) = ( ( G ` k ) - k ) )
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) - n ) ) ` k ) = ( ( G ` k ) - k ) )
36	7	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. Z )
37	5, 36	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
38		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. RR )
39	38	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> k e. RR )
40	37, 39	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> ( ( G ` k ) - k ) e. RR )
41	35, 40	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) - n ) ) ` k ) e. RR )
42	28, 41	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. ( ZZ>= ` x ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) - n ) ) ` k ) e. RR )
43	26, 42	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. ( x ... y ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) - n ) ) ` k ) e. RR )
44		elfzuz 12338	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( x ... ( y - 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` x ) )
45		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
46		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G : NN --> Z /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( G ` ( k + 1 ) ) e. Z )
47	7, 45, 46	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> ( G ` ( k + 1 ) ) e. Z )
48	5, 47	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> ( G ` ( k + 1 ) ) e. RR )
49		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G ` ( k + 1 ) ) e. RR -> ( ( G ` ( k + 1 ) ) - 1 ) e. RR )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> ( ( G ` ( k + 1 ) ) - 1 ) e. RR )
51		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> ph )
52		isercoll.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) < ( G ` ( k + 1 ) ) )
53	51, 52	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) < ( G ` ( k + 1 ) ) )
54	3, 36	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. ZZ )
55	3, 47	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> ( G ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
56		zltlem1 11430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( G ` k ) e. ZZ /\ ( G ` ( k + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( ( G ` k ) < ( G ` ( k + 1 ) ) <-> ( G ` k ) <_ ( ( G ` ( k + 1 ) ) - 1 ) ) )
57	54, 55, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> ( ( G ` k ) < ( G ` ( k + 1 ) ) <-> ( G ` k ) <_ ( ( G ` ( k + 1 ) ) - 1 ) ) )
58	53, 57	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( ( G ` ( k + 1 ) ) - 1 ) )
59	37, 50, 39, 58	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> ( ( G ` k ) - k ) <_ ( ( ( G ` ( k + 1 ) ) - 1 ) - k ) )
60	48	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> ( G ` ( k + 1 ) ) e. CC )
61		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> 1 e. CC )
62	39	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> k e. CC )
63	60, 61, 62	sub32d 10424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( G ` ( k + 1 ) ) - 1 ) - k ) = ( ( ( G ` ( k + 1 ) ) - k ) - 1 ) )
64	60, 62, 61	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( G ` ( k + 1 ) ) - k ) - 1 ) = ( ( G ` ( k + 1 ) ) - ( k + 1 ) ) )
65	63, 64	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( G ` ( k + 1 ) ) - 1 ) - k ) = ( ( G ` ( k + 1 ) ) - ( k + 1 ) ) )
66	59, 65	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> ( ( G ` k ) - k ) <_ ( ( G ` ( k + 1 ) ) - ( k + 1 ) ) )
67	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
68		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( G ` n ) = ( G ` ( k + 1 ) ) )
69		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( k + 1 ) -> n = ( k + 1 ) )
70	68, 69	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( ( G ` n ) - n ) = ( ( G ` ( k + 1 ) ) - ( k + 1 ) ) )
71		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G ` ( k + 1 ) ) - ( k + 1 ) ) e. _V
72	70, 32, 71	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) - n ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( G ` ( k + 1 ) ) - ( k + 1 ) ) )
73	67, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) - n ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( G ` ( k + 1 ) ) - ( k + 1 ) ) )
74	66, 35, 73	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) - n ) ) ` k ) <_ ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) - n ) ) ` ( k + 1 ) ) )
75	28, 74	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. ( ZZ>= ` x ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) - n ) ) ` k ) <_ ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) - n ) ) ` ( k + 1 ) ) )
76	44, 75	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) /\ k e. ( x ... ( y - 1 ) ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) - n ) ) ` k ) <_ ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) - n ) ) ` ( k + 1 ) ) )
77	25, 43, 76	monoord 12831	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) - n ) ) ` x ) <_ ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) - n ) ) ` y ) )
78		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = x -> ( G ` n ) = ( G ` x ) )
79		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = x -> n = x )
80	78, 79	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( n = x -> ( ( G ` n ) - n ) = ( ( G ` x ) - x ) )
81		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` x ) - x ) e. _V
82	80, 32, 81	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) - n ) ) ` x ) = ( ( G ` x ) - x ) )
83	8, 82	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) - n ) ) ` x ) = ( ( G ` x ) - x ) )
84		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = y -> ( G ` n ) = ( G ` y ) )
85		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = y -> n = y )
86	84, 85	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( n = y -> ( ( G ` n ) - n ) = ( ( G ` y ) - y ) )
87		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` y ) - y ) e. _V
88	86, 32, 87	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) - n ) ) ` y ) = ( ( G ` y ) - y ) )
89	11, 88	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( G ` n ) - n ) ) ` y ) = ( ( G ` y ) - y ) )
90	77, 83, 89	3brtr3d 4684	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> ( ( G ` x ) - x ) <_ ( ( G ` y ) - y ) )
91	13, 15, 18, 20, 90	ltletrd 10197	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> ( ( G ` x ) - y ) < ( ( G ` y ) - y ) )
92	10, 17, 12	ltsub1d 10636	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> ( ( G ` x ) < ( G ` y ) <-> ( ( G ` x ) - y ) < ( ( G ` y ) - y ) ) )
93	91, 92	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) /\ x < y ) -> ( G ` x ) < ( G ` y ) )
94	93	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ y e. NN ) ) -> ( x < y -> ( G ` x ) < ( G ` y ) ) )
95	94	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ph -> A. x e. NN A. y e. NN ( x < y -> ( G ` x ) < ( G ` y ) ) )
96		ssralv 3666	. . . . 5 |- ( S C_ NN -> ( A. y e. NN ( x < y -> ( G ` x ) < ( G ` y ) ) -> A. y e. S ( x < y -> ( G ` x ) < ( G ` y ) ) ) )
97	96	ralimdv 2963	. . . 4 |- ( S C_ NN -> ( A. x e. NN A. y e. NN ( x < y -> ( G ` x ) < ( G ` y ) ) -> A. x e. NN A. y e. S ( x < y -> ( G ` x ) < ( G ` y ) ) ) )
98		ssralv 3666	. . . 4 |- ( S C_ NN -> ( A. x e. NN A. y e. S ( x < y -> ( G ` x ) < ( G ` y ) ) -> A. x e. S A. y e. S ( x < y -> ( G ` x ) < ( G ` y ) ) ) )
99	97, 98	syld 47	. . 3 |- ( S C_ NN -> ( A. x e. NN A. y e. NN ( x < y -> ( G ` x ) < ( G ` y ) ) -> A. x e. S A. y e. S ( x < y -> ( G ` x ) < ( G ` y ) ) ) )
100	95, 99	mpan9 486	. 2 |- ( ( ph /\ S C_ NN ) -> A. x e. S A. y e. S ( x < y -> ( G ` x ) < ( G ` y ) ) )
101		nnssre 11024	. . . . 5 |- NN C_ RR
102		ltso 10118	. . . . 5 |- < Or RR
103		soss 5053	. . . . 5 |- ( NN C_ RR -> ( < Or RR -> < Or NN ) )
104	101, 102, 103	mp2 9	. . . 4 |- < Or NN
105	104	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ S C_ NN ) -> < Or NN )
106		soss 5053	. . . . 5 |- ( Z C_ RR -> ( < Or RR -> < Or Z ) )
107	5, 102, 106	mp2 9	. . . 4 |- < Or Z
108	107	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ S C_ NN ) -> < Or Z )
109	6	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ S C_ NN ) -> G : NN --> Z )
110		simpr 477	. . 3 |- ( ( ph /\ S C_ NN ) -> S C_ NN )
111		soisores 6577	. . 3 |- ( ( ( < Or NN /\ < Or Z ) /\ ( G : NN --> Z /\ S C_ NN ) ) -> ( ( G |` S ) Isom < , < ( S , ( G " S ) ) <-> A. x e. S A. y e. S ( x < y -> ( G ` x ) < ( G ` y ) ) ) )
112	105, 108, 109, 110, 111	syl22anc 1327	. 2 |- ( ( ph /\ S C_ NN ) -> ( ( G |` S ) Isom < , < ( S , ( G " S ) ) <-> A. x e. S A. y e. S ( x < y -> ( G ` x ) < ( G ` y ) ) ) )
113	100, 112	mpbird 247	1 |- ( ( ph /\ S C_ NN ) -> ( G |` S ) Isom < , < ( S , ( G " S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   |` cres 5116   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  isercolllem2  14396  isercolllem3  14397  isercoll  14398