Theorem stoweidlem18 40235

Description: This theorem proves Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 92 when A is empty, the trivial case. Here D is used to denote the set A of Lemma 2, because the variable A is used for the subalgebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem18.1	|- F/_ t D
stoweidlem18.2	|- F/ t ph
stoweidlem18.3	|- F = ( t e. T |-> 1 )
stoweidlem18.4	|- T = U. J
stoweidlem18.5	|- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
stoweidlem18.6	|- ( ph -> B e. ( Clsd ` J ) )
stoweidlem18.7	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem18.8	|- ( ph -> D = (/) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem18	|- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Distinct variable groups:   t, a, T   A, a   ph, a   x, t   x, A   x, B   x, D   x, E   x, F   x, T

Allowed substitution hints:   ph( x, t)   A( t)   B( t, a)   D( t, a)   E( t, a)   F( t, a)   J( x, t, a)

Proof of Theorem stoweidlem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem18.3	. . 3 |- F = ( t e. T |-> 1 )
2		1re 10039	. . . 4 |- 1 e. RR
3		stoweidlem18.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
4	3	stoweidlem4 40221	. . . 4 |- ( ( ph /\ 1 e. RR ) -> ( t e. T |-> 1 ) e. A )
5	2, 4	mpan2 707	. . 3 |- ( ph -> ( t e. T |-> 1 ) e. A )
6	1, 5	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> F e. A )
7		stoweidlem18.2	. . 3 |- F/ t ph
8		0le1 10551	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
9		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
10	1	fvmpt2 6291	. . . . . . 7 |- ( ( t e. T /\ 1 e. RR ) -> ( F ` t ) = 1 )
11	9, 2, 10	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) = 1 )
12	8, 11	syl5breqr 4691	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( F ` t ) )
13		1le1 10655	. . . . . 6 |- 1 <_ 1
14	11, 13	syl6eqbr 4692	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) <_ 1 )
15	12, 14	jca 554	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) )
16	15	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( t e. T -> ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) ) )
17	7, 16	ralrimi 2957	. 2 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) )
18		stoweidlem18.8	. . 3 |- ( ph -> D = (/) )
19		stoweidlem18.1	. . . . 5 |- F/_ t D
20		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ t (/)
21	19, 20	nfeq 2776	. . . 4 |- F/ t D = (/)
22	21	rzalf 39176	. . 3 |- ( D = (/) -> A. t e. D ( F ` t ) < E )
23	18, 22	syl 17	. 2 |- ( ph -> A. t e. D ( F ` t ) < E )
24		1red 10055	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. RR )
25		stoweidlem18.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR+ )
26	24, 25	ltsubrpd 11904	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - E ) < 1 )
27	26	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( 1 - E ) < 1 )
28		stoweidlem18.6	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ( Clsd ` J ) )
29		stoweidlem18.4	. . . . . . . . 9 |- T = U. J
30	29	cldss 20833	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( Clsd ` J ) -> B C_ T )
31	28, 30	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> B C_ T )
32	31	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> t e. T )
33	32, 2, 10	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( F ` t ) = 1 )
34	27, 33	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. B ) -> ( 1 - E ) < ( F ` t ) )
35	34	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( t e. B -> ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) )
36	7, 35	ralrimi 2957	. 2 |- ( ph -> A. t e. B ( 1 - E ) < ( F ` t ) )
37		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ t x
38		nfmpt1 4747	. . . . . . 7 |- F/_ t ( t e. T |-> 1 )
39	1, 38	nfcxfr 2762	. . . . . 6 |- F/_ t F
40	37, 39	nfeq 2776	. . . . 5 |- F/ t x = F
41		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( x = F -> ( x ` t ) = ( F ` t ) )
42	41	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( x = F -> ( 0 <_ ( x ` t ) <-> 0 <_ ( F ` t ) ) )
43	41	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( x = F -> ( ( x ` t ) <_ 1 <-> ( F ` t ) <_ 1 ) )
44	42, 43	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( x = F -> ( ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) ) )
45	40, 44	ralbid 2983	. . . 4 |- ( x = F -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) ) )
46	41	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( x = F -> ( ( x ` t ) < E <-> ( F ` t ) < E ) )
47	40, 46	ralbid 2983	. . . 4 |- ( x = F -> ( A. t e. D ( x ` t ) < E <-> A. t e. D ( F ` t ) < E ) )
48	41	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( x = F -> ( ( 1 - E ) < ( x ` t ) <-> ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) )
49	40, 48	ralbid 2983	. . . 4 |- ( x = F -> ( A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) <-> A. t e. B ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) )
50	45, 47, 49	3anbi123d 1399	. . 3 |- ( x = F -> ( ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) <-> ( A. t e. T ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( F ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) ) )
51	50	rspcev 3309	. 2 |- ( ( F e. A /\ ( A. t e. T ( 0 <_ ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( F ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( F ` t ) ) ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )
52	6, 17, 23, 36, 51	syl13anc 1328	1 |- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   Clsdccld 20820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-rp 11833  df-top 20699  df-cld 20823

This theorem is referenced by:  stoweidlem58  40275