Theorem stoweidlem19 40236

Description: If a set of real functions is closed under multiplication and it contains constants, then it is closed under finite exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem19.1	|- F/_ t F
stoweidlem19.2	|- F/ t ph
stoweidlem19.3	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
stoweidlem19.4	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem19.5	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem19.6	|- ( ph -> F e. A )
stoweidlem19.7	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem19	|- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ N ) ) e. A )

Distinct variable groups:   f, g, t, A   f, F, g   T, f, g, t   ph, f, g   t, N   x, t, A   x, T   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( t)   F( x, t)   N( x, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem19

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem19.7	. 2 |- ( ph -> N e. NN0 )
2		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( n = 0 -> ( ( F ` t ) ^ n ) = ( ( F ` t ) ^ 0 ) )
3	2	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( n = 0 -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ n ) ) = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ 0 ) ) )
4	3	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( n = 0 -> ( ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ n ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ 0 ) ) e. A ) )
5	4	imbi2d 330	. . 3 |- ( n = 0 -> ( ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ n ) ) e. A ) <-> ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ 0 ) ) e. A ) ) )
6		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( ( F ` t ) ^ n ) = ( ( F ` t ) ^ m ) )
7	6	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( n = m -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ n ) ) = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) )
8	7	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( n = m -> ( ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ n ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) )
9	8	imbi2d 330	. . 3 |- ( n = m -> ( ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ n ) ) e. A ) <-> ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) ) )
10		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( F ` t ) ^ n ) = ( ( F ` t ) ^ ( m + 1 ) ) )
11	10	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ n ) ) = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ ( m + 1 ) ) ) )
12	11	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ n ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ ( m + 1 ) ) ) e. A ) )
13	12	imbi2d 330	. . 3 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ n ) ) e. A ) <-> ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ ( m + 1 ) ) ) e. A ) ) )
14		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( ( F ` t ) ^ n ) = ( ( F ` t ) ^ N ) )
15	14	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( n = N -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ n ) ) = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ N ) ) )
16	15	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( n = N -> ( ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ n ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ N ) ) e. A ) )
17	16	imbi2d 330	. . 3 |- ( n = N -> ( ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ n ) ) e. A ) <-> ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ N ) ) e. A ) ) )
18		stoweidlem19.2	. . . . 5 |- F/ t ph
19		stoweidlem19.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. A )
20	19	ancli 574	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ph /\ F e. A ) )
21		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = F -> ( f e. A <-> F e. A ) )
22	21	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> ( ( ph /\ f e. A ) <-> ( ph /\ F e. A ) ) )
23		feq1 6026	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> ( f : T --> RR <-> F : T --> RR ) )
24	22, 23	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ F e. A ) -> F : T --> RR ) ) )
25		stoweidlem19.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
26	24, 25	vtoclg 3266	. . . . . . . . 9 |- ( F e. A -> ( ( ph /\ F e. A ) -> F : T --> RR ) )
27	19, 20, 26	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : T --> RR )
28	27	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. RR )
29		recn 10026	. . . . . . 7 |- ( ( F ` t ) e. RR -> ( F ` t ) e. CC )
30		exp0 12864	. . . . . . 7 |- ( ( F ` t ) e. CC -> ( ( F ` t ) ^ 0 ) = 1 )
31	28, 29, 30	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) ^ 0 ) = 1 )
32	31	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 1 = ( ( F ` t ) ^ 0 ) )
33	18, 32	mpteq2da 4743	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. T |-> 1 ) = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ 0 ) ) )
34		1re 10039	. . . . 5 |- 1 e. RR
35		stoweidlem19.5	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
36	35	stoweidlem4 40221	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 1 e. RR ) -> ( t e. T |-> 1 ) e. A )
37	34, 36	mpan2 707	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. T |-> 1 ) e. A )
38	33, 37	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ 0 ) ) e. A )
39		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) ) /\ ph ) -> ph )
40		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) ) /\ ph ) -> m e. NN0 )
41		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) ) /\ ph ) -> ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) )
42	39, 41	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) ) /\ ph ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A )
43		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ t m e. NN0
44		nfmpt1 4747	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) )
45	44	nfel1 2779	. . . . . . . 8 |- F/ t ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A
46	18, 43, 45	nf3an 1831	. . . . . . 7 |- F/ t ( ph /\ m e. NN0 /\ ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A )
47		simpl1 1064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 /\ ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) /\ t e. T ) -> ph )
48		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 /\ ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) /\ t e. T ) -> t e. T )
49	28	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. CC )
50	47, 48, 49	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 /\ ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. CC )
51		simpl2 1065	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 /\ ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) /\ t e. T ) -> m e. NN0 )
52	50, 51	expp1d 13009	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 /\ ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) ^ ( m + 1 ) ) = ( ( ( F ` t ) ^ m ) x. ( F ` t ) ) )
53	46, 52	mpteq2da 4743	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 /\ ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ ( m + 1 ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( F ` t ) ^ m ) x. ( F ` t ) ) ) )
54	28	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN0 /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. RR )
55		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN0 /\ t e. T ) -> m e. NN0 )
56	54, 55	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) ^ m ) e. RR )
57	47, 51, 48, 56	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 /\ ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) ^ m ) e. RR )
58		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) )
59	58	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t e. T /\ ( ( F ` t ) ^ m ) e. RR ) -> ( ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) ` t ) = ( ( F ` t ) ^ m ) )
60	59	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. T /\ ( ( F ` t ) ^ m ) e. RR ) -> ( ( F ` t ) ^ m ) = ( ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) ` t ) )
61	48, 57, 60	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 /\ ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) ^ m ) = ( ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) ` t ) )
62	61	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 /\ ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) /\ t e. T ) -> ( ( ( F ` t ) ^ m ) x. ( F ` t ) ) = ( ( ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) ` t ) x. ( F ` t ) ) )
63	46, 62	mpteq2da 4743	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 /\ ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( F ` t ) ^ m ) x. ( F ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) ` t ) x. ( F ` t ) ) ) )
64	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) -> F e. A )
65	44	nfeq2 2780	. . . . . . . . . 10 |- F/ t f = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) )
66		stoweidlem19.1	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t F
67	66	nfeq2 2780	. . . . . . . . . 10 |- F/ t g = F
68		stoweidlem19.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
69	65, 67, 68	stoweidlem6 40223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A /\ F e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A )
70	64, 69	mpd3an3 1425	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A )
71	70	3adant2 1080	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 /\ ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) ` t ) x. ( F ` t ) ) ) e. A )
72	63, 71	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN0 /\ ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( F ` t ) ^ m ) x. ( F ` t ) ) ) e. A )
73	53, 72	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 /\ ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ ( m + 1 ) ) ) e. A )
74	39, 40, 42, 73	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( m e. NN0 /\ ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) ) /\ ph ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ ( m + 1 ) ) ) e. A )
75	74	exp31 630	. . 3 |- ( m e. NN0 -> ( ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ m ) ) e. A ) -> ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ ( m + 1 ) ) ) e. A ) ) )
76	5, 9, 13, 17, 38, 75	nn0ind 11472	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ N ) ) e. A ) )
77	1, 76	mpcom 38	1 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) ^ N ) ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   NN0cn0 11292   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  stoweidlem40  40257