Theorem stoweidlem58 40275

Description: This theorem proves Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here D is used to represent the set A of Lemma 2, because here the variable A is used for the subalgebra of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem58.1	|- F/_ t D
stoweidlem58.2	|- F/_ t U
stoweidlem58.3	|- F/ t ph
stoweidlem58.4	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem58.5	|- T = U. J
stoweidlem58.6	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem58.7	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem58.8	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem58.9	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem58.10	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem58.11	|- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
stoweidlem58.12	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem58.13	|- ( ph -> B e. ( Clsd ` J ) )
stoweidlem58.14	|- ( ph -> D e. ( Clsd ` J ) )
stoweidlem58.15	|- ( ph -> ( B i^i D ) = (/) )
stoweidlem58.16	|- U = ( T \ B )
stoweidlem58.17	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem58.18	|- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem58	|- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Distinct variable groups:   f, a, r, t, A, q   D, a, f, r   T, a, f, r, t   U, a, f, r   ph, a, f, r   f, g, r, t, A   f, E, g, r, t   x, f, g, t, A   B, f, g, r   f, J, g, r, t   g, q, D   T, g   U, g   ph, g   D, q   T, q   U, q   ph, q   t, K   x, B   x, D   x, E   x, T

Allowed substitution hints:   ph( x, t)   B( t, q, a)   C( x, t, f, g, r, q, a)   D( t)   U( x, t)   E( q, a)   J( x, q, a)   K( x, f, g, r, q, a)

Proof of Theorem stoweidlem58

Dummy variables e h w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem58.1	. . 3 |- F/_ t D
2		stoweidlem58.3	. . . 4 |- F/ t ph
3	1	nfeq1 2778	. . . 4 |- F/ t D = (/)
4	2, 3	nfan 1828	. . 3 |- F/ t ( ph /\ D = (/) )
5		eqid 2622	. . 3 |- ( t e. T |-> 1 ) = ( t e. T |-> 1 )
6		stoweidlem58.5	. . 3 |- T = U. J
7		stoweidlem58.11	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
8	7	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( ph /\ D = (/) ) /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
9		stoweidlem58.13	. . . 4 |- ( ph -> B e. ( Clsd ` J ) )
10	9	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ D = (/) ) -> B e. ( Clsd ` J ) )
11		stoweidlem58.17	. . . 4 |- ( ph -> E e. RR+ )
12	11	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ D = (/) ) -> E e. RR+ )
13		simpr 477	. . 3 |- ( ( ph /\ D = (/) ) -> D = (/) )
14	1, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 13	stoweidlem18 40235	. 2 |- ( ( ph /\ D = (/) ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )
15		stoweidlem58.2	. . 3 |- F/_ t U
16		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ t (/)
17	1, 16	nfne 2894	. . . 4 |- F/ t D =/= (/)
18	2, 17	nfan 1828	. . 3 |- F/ t ( ph /\ D =/= (/) )
19		eqid 2622	. . 3 |- { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
20		eqid 2622	. . 3 |- { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) } = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
21		stoweidlem58.4	. . 3 |- K = ( topGen ` ran (,) )
22		stoweidlem58.6	. . 3 |- C = ( J Cn K )
23		stoweidlem58.16	. . 3 |- U = ( T \ B )
24		stoweidlem58.7	. . . 4 |- ( ph -> J e. Comp )
25	24	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ D =/= (/) ) -> J e. Comp )
26		stoweidlem58.8	. . . 4 |- ( ph -> A C_ C )
27	26	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ D =/= (/) ) -> A C_ C )
28		stoweidlem58.9	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
29	28	3adant1r 1319	. . 3 |- ( ( ( ph /\ D =/= (/) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
30		stoweidlem58.10	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
31	30	3adant1r 1319	. . 3 |- ( ( ( ph /\ D =/= (/) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
32	7	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( ph /\ D =/= (/) ) /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
33		stoweidlem58.12	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
34	33	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( ph /\ D =/= (/) ) /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
35	9	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ D =/= (/) ) -> B e. ( Clsd ` J ) )
36		stoweidlem58.14	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( Clsd ` J ) )
37	36	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ D =/= (/) ) -> D e. ( Clsd ` J ) )
38		stoweidlem58.15	. . . 4 |- ( ph -> ( B i^i D ) = (/) )
39	38	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ D =/= (/) ) -> ( B i^i D ) = (/) )
40		simpr 477	. . 3 |- ( ( ph /\ D =/= (/) ) -> D =/= (/) )
41	11	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ D =/= (/) ) -> E e. RR+ )
42		stoweidlem58.18	. . . 4 |- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
43	42	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ D =/= (/) ) -> E < ( 1 / 3 ) )
44	1, 15, 18, 19, 20, 21, 6, 22, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 43	stoweidlem57 40274	. 2 |- ( ( ph /\ D =/= (/) ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )
45	14, 44	pm2.61dane 2881	1 |- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   3c3 11071   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   topGenctg 16098   Clsdccld 20820   Cn ccn 21028   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  stoweidlem59  40276