Theorem swoso 7775

Description: If the incomparability relation is equivalent to equality in a subset, then the partial order strictly orders the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
swoer.1	|- R = ( ( X X. X ) \ ( .< u. `' .< ) )
swoer.2	|- ( ( ph /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( y .< z -> -. z .< y ) )
swoer.3	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x .< y -> ( x .< z \/ z .< y ) ) )
swoso.4	|- ( ph -> Y C_ X )
swoso.5	|- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ y e. Y /\ x R y ) ) -> x = y )

Assertion

Ref	Expression
swoso	|- ( ph -> .< Or Y )

Distinct variable groups:   x, y, z, .<   ph, x, y, z   x, X, y, z   x, Y, y

Allowed substitution hints:   R( x, y, z)   Y( z)

Proof of Theorem swoso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swoso.4	. . 3 |- ( ph -> Y C_ X )
2		swoer.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( y .< z -> -. z .< y ) )
3		swoer.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x .< y -> ( x .< z \/ z .< y ) ) )
4	2, 3	swopo 5045	. . 3 |- ( ph -> .< Po X )
5		poss 5037	. . 3 |- ( Y C_ X -> ( .< Po X -> .< Po Y ) )
6	1, 4, 5	sylc 65	. 2 |- ( ph -> .< Po Y )
7	1	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> x e. X )
8	1	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. X )
9	7, 8	anim12dan 882	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x e. X /\ y e. X ) )
10		swoer.1	. . . . . . 7 |- R = ( ( X X. X ) \ ( .< u. `' .< ) )
11	10	brdifun 7771	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ y e. X ) -> ( x R y <-> -. ( x .< y \/ y .< x ) ) )
12	9, 11	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x R y <-> -. ( x .< y \/ y .< x ) ) )
13		df-3an 1039	. . . . . . 7 |- ( ( x e. Y /\ y e. Y /\ x R y ) <-> ( ( x e. Y /\ y e. Y ) /\ x R y ) )
14		swoso.5	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ y e. Y /\ x R y ) ) -> x = y )
15	13, 14	sylan2br 493	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( x e. Y /\ y e. Y ) /\ x R y ) ) -> x = y )
16	15	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x R y -> x = y ) )
17	12, 16	sylbird 250	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( -. ( x .< y \/ y .< x ) -> x = y ) )
18	17	orrd 393	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( ( x .< y \/ y .< x ) \/ x = y ) )
19		3orcomb 1048	. . . 4 |- ( ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) <-> ( x .< y \/ y .< x \/ x = y ) )
20		df-3or 1038	. . . 4 |- ( ( x .< y \/ y .< x \/ x = y ) <-> ( ( x .< y \/ y .< x ) \/ x = y ) )
21	19, 20	bitri 264	. . 3 |- ( ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) <-> ( ( x .< y \/ y .< x ) \/ x = y ) )
22	18, 21	sylibr 224	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) )
23	6, 22	issod 5065	1 |- ( ph -> .< Or Y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   Po wpo 5033   Or wor 5034   X. cxp 5112   `'ccnv 5113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-cnv 5122

This theorem is referenced by: (None)