Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendospcanN Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem tendospcanN 36312
Description: Cancellation law for trace-perserving endomorphism values (used as scalar product). (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tendospcan.b |- B = ( Base ` K )
tendospcan.h |- H = ( LHyp ` K )
tendospcan.t |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
tendospcan.e |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
tendospcan.o |- O = ( f e. T |-> ( _I |` B ) )
Assertion
Ref Expression
tendospcanN |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ S =/= O ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( S ` F ) = ( S ` G ) <-> F = G ) )
Distinct variable groups:   B, f   T, f
Allowed substitution hints:   S( f)   E( f)   F( f)   G( f)   H( f)   K( f)   O( f)   W( f)
Proof of Theorem tendospcanN
StepHypRef Expression
1 tendospcan.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- H = ( LHyp ` K )
2 tendospcan.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3 tendospcan.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
41, 2, 3tendocnv 36310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ G e. T ) -> `' ( S ` G ) = ( S ` `' G ) )
543adant3l 1322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> `' ( S ` G ) = ( S ` `' G ) )
65coeq2d 5284 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( S ` F ) o. `' ( S ` G ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` `' G ) ) )
7 simp1 1061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
8 simp2 1062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> S e. E )
9 simp3l 1089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> F e. T )
10 simp3r 1090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> G e. T )
111, 2ltrncnv 35432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> `' G e. T )
127, 10, 11syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> `' G e. T )
131, 2, 3tendospdi1 36309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ F e. T /\ `' G e. T ) ) -> ( S ` ( F o. `' G ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` `' G ) ) )
147, 8, 9, 12, 13syl13anc 1328 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( S ` ( F o. `' G ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` `' G ) ) )
156, 14eqtr4d 2659 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( S ` F ) o. `' ( S ` G ) ) = ( S ` ( F o. `' G ) ) )
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. `' G ) =/= ( _I |` B ) ) -> ( ( S ` F ) o. `' ( S ` G ) ) = ( S ` ( F o. `' G ) ) )
1716eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. `' G ) =/= ( _I |` B ) ) -> ( ( ( S ` F ) o. `' ( S ` G ) ) = ( _I |` B ) <-> ( S ` ( F o. `' G ) ) = ( _I |` B ) ) )
18 simpl1 1064 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. `' G ) =/= ( _I |` B ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
19 simpl2 1065 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. `' G ) =/= ( _I |` B ) ) -> S e. E )
20 simpl3l 1116 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. `' G ) =/= ( _I |` B ) ) -> F e. T )
211, 2, 3tendocl 36055 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ F e. T ) -> ( S ` F ) e. T )
2218, 19, 20, 21syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. `' G ) =/= ( _I |` B ) ) -> ( S ` F ) e. T )
23 simpl3r 1117 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. `' G ) =/= ( _I |` B ) ) -> G e. T )
241, 2, 3tendocl 36055 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ G e. T ) -> ( S ` G ) e. T )
2518, 19, 23, 24syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. `' G ) =/= ( _I |` B ) ) -> ( S ` G ) e. T )
26 tendospcan.b . . . . . . . . . . . . . 14 |- B = ( Base ` K )
2726, 1, 2ltrncoidN 35414 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S ` F ) e. T /\ ( S ` G ) e. T ) -> ( ( ( S ` F ) o. `' ( S ` G ) ) = ( _I |` B ) <-> ( S ` F ) = ( S ` G ) ) )
2818, 22, 25, 27syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. `' G ) =/= ( _I |` B ) ) -> ( ( ( S ` F ) o. `' ( S ` G ) ) = ( _I |` B ) <-> ( S ` F ) = ( S ` G ) ) )
2918, 23, 11syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. `' G ) =/= ( _I |` B ) ) -> `' G e. T )
301, 2ltrnco 36007 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ `' G e. T ) -> ( F o. `' G ) e. T )
3118, 20, 29, 30syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. `' G ) =/= ( _I |` B ) ) -> ( F o. `' G ) e. T )
32 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. `' G ) =/= ( _I |` B ) ) -> ( F o. `' G ) =/= ( _I |` B ) )
33 tendospcan.o . . . . . . . . . . . . . 14 |- O = ( f e. T |-> ( _I |` B ) )
3426, 1, 2, 3, 33tendoid0 36113 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( ( F o. `' G ) e. T /\ ( F o. `' G ) =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( ( S ` ( F o. `' G ) ) = ( _I |` B ) <-> S = O ) )
3518, 19, 31, 32, 34syl112anc 1330 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. `' G ) =/= ( _I |` B ) ) -> ( ( S ` ( F o. `' G ) ) = ( _I |` B ) <-> S = O ) )
3617, 28, 353bitr3d 298 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. `' G ) =/= ( _I |` B ) ) -> ( ( S ` F ) = ( S ` G ) <-> S = O ) )
3736biimpd 219 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( F o. `' G ) =/= ( _I |` B ) ) -> ( ( S ` F ) = ( S ` G ) -> S = O ) )
3837impancom 456 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( S ` F ) = ( S ` G ) ) -> ( ( F o. `' G ) =/= ( _I |` B ) -> S = O ) )
3938necon1d 2816 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( S ` F ) = ( S ` G ) ) -> ( S =/= O -> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) )
40 simpl1 1064 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( S ` F ) = ( S ` G ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
41 simpl3l 1116 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( S ` F ) = ( S ` G ) ) -> F e. T )
42 simpl3r 1117 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( S ` F ) = ( S ` G ) ) -> G e. T )
4326, 1, 2ltrncoidN 35414 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) <-> F = G ) )
4440, 41, 42, 43syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( S ` F ) = ( S ` G ) ) -> ( ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) <-> F = G ) )
4539, 44sylibd 229 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( S ` F ) = ( S ` G ) ) -> ( S =/= O -> F = G ) )
46453exp1 1283 . . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( S e. E -> ( ( F e. T /\ G e. T ) -> ( ( S ` F ) = ( S ` G ) -> ( S =/= O -> F = G ) ) ) ) )
4746com24 95 . . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( S ` F ) = ( S ` G ) -> ( ( F e. T /\ G e. T ) -> ( S e. E -> ( S =/= O -> F = G ) ) ) ) )
4847imp5a 624 . . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( S ` F ) = ( S ` G ) -> ( ( F e. T /\ G e. T ) -> ( ( S e. E /\ S =/= O ) -> F = G ) ) ) )
4948com24 95 . . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( S e. E /\ S =/= O ) -> ( ( F e. T /\ G e. T ) -> ( ( S ` F ) = ( S ` G ) -> F = G ) ) ) )
50493imp 1256 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ S =/= O ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( S ` F ) = ( S ` G ) -> F = G ) )
51 fveq2 6191 . 2 |- ( F = G -> ( S ` F ) = ( S ` G ) )
5250, 51impbid1 215 1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ S =/= O ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( S ` F ) = ( S ` G ) <-> F = G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   ` cfv 5888   Basecbs 15857   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   TEndoctendo 36040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-map 7859  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tendo 36043
This theorem is referenced by:  dihmeetlem13N  36608
  Copyright terms: Public domain W3C validator