Theorem tfrlem1 7472

Description: A technical lemma for transfinite recursion. Compare Lemma 1 of [TakeutiZaring] p. 47. (Contributed by NM, 23-Mar-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlem1.1	|- ( ph -> A e. On )
tfrlem1.2	|- ( ph -> ( Fun F /\ A C_ dom F ) )
tfrlem1.3	|- ( ph -> ( Fun G /\ A C_ dom G ) )
tfrlem1.4	|- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) = ( B ` ( F |` x ) ) )
tfrlem1.5	|- ( ph -> A. x e. A ( G ` x ) = ( B ` ( G |` x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrlem1	|- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, G

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem tfrlem1

Dummy variables u w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. 2 |- A C_ A
2		tfrlem1.1	. . 3 |- ( ph -> A e. On )
3		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( y C_ A <-> z C_ A ) )
4		raleq 3138	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
5	3, 4	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) <-> ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
6	5	imbi2d 330	. . . 4 |- ( y = z -> ( ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) )
7		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( y C_ A <-> A C_ A ) )
8		raleq 3138	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
9	7, 8	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( y = A -> ( ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) <-> ( A C_ A -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
10	9	imbi2d 330	. . . 4 |- ( y = A -> ( ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) )
11		r19.21v 2960	. . . . 5 |- ( A. z e. y ( ph -> ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) <-> ( ph -> A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
12		tfrlem1.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( Fun F /\ A C_ dom F ) )
13	12	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( Fun F /\ A C_ dom F ) )
14	13	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> Fun F )
15		funfn 5918	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
16	14, 15	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> F Fn dom F )
17		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. On -> Ord y )
18	17	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> Ord y )
19		ordelss 5739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Ord y /\ w e. y ) -> w C_ y )
20	18, 19	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w C_ y )
21		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> y C_ A )
22	20, 21	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w C_ A )
23	13	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> A C_ dom F )
24	22, 23	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w C_ dom F )
25		fnssres 6004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F Fn dom F /\ w C_ dom F ) -> ( F |` w ) Fn w )
26	16, 24, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( F |` w ) Fn w )
27		tfrlem1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( Fun G /\ A C_ dom G ) )
28	27	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( Fun G /\ A C_ dom G ) )
29	28	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> Fun G )
30		funfn 5918	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun G <-> G Fn dom G )
31	29, 30	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> G Fn dom G )
32	28	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> A C_ dom G )
33	22, 32	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w C_ dom G )
34		fnssres 6004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G Fn dom G /\ w C_ dom G ) -> ( G |` w ) Fn w )
35	31, 33, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( G |` w ) Fn w )
36		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> u e. w )
37		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> w e. y )
38		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
39	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> w C_ A )
40		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = w -> ( z C_ A <-> w C_ A ) )
41		raleq 3138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = w -> ( A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> A. x e. w ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
42	40, 41	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = w -> ( ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) <-> ( w C_ A -> A. x e. w ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
43	42	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. y -> ( A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) -> ( w C_ A -> A. x e. w ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
44	37, 38, 39, 43	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> A. x e. w ( F ` x ) = ( G ` x ) )
45		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = u -> ( F ` x ) = ( F ` u ) )
46		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = u -> ( G ` x ) = ( G ` u ) )
47	45, 46	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = u -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` u ) = ( G ` u ) ) )
48	47	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. w -> ( A. x e. w ( F ` x ) = ( G ` x ) -> ( F ` u ) = ( G ` u ) ) )
49	36, 44, 48	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> ( F ` u ) = ( G ` u ) )
50		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. w -> ( ( F |` w ) ` u ) = ( F ` u ) )
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> ( ( F |` w ) ` u ) = ( F ` u ) )
52		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. w -> ( ( G |` w ) ` u ) = ( G ` u ) )
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> ( ( G |` w ) ` u ) = ( G ` u ) )
54	49, 51, 53	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> ( ( F |` w ) ` u ) = ( ( G |` w ) ` u ) )
55	26, 35, 54	eqfnfvd 6314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( F |` w ) = ( G |` w ) )
56	55	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( B ` ( F |` w ) ) = ( B ` ( G |` w ) ) )
57		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> y C_ A )
58	57	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w e. A )
59		tfrlem1.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) = ( B ` ( F |` x ) ) )
60	59	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> A. x e. A ( F ` x ) = ( B ` ( F |` x ) ) )
61		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
62		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( F |` x ) = ( F |` w ) )
63	62	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( B ` ( F |` x ) ) = ( B ` ( F |` w ) ) )
64	61, 63	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( ( F ` x ) = ( B ` ( F |` x ) ) <-> ( F ` w ) = ( B ` ( F |` w ) ) ) )
65	64	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. A /\ A. x e. A ( F ` x ) = ( B ` ( F |` x ) ) ) -> ( F ` w ) = ( B ` ( F |` w ) ) )
66	58, 60, 65	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( F ` w ) = ( B ` ( F |` w ) ) )
67		tfrlem1.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. A ( G ` x ) = ( B ` ( G |` x ) ) )
68	67	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> A. x e. A ( G ` x ) = ( B ` ( G |` x ) ) )
69		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( G ` x ) = ( G ` w ) )
70		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( G |` x ) = ( G |` w ) )
71	70	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( B ` ( G |` x ) ) = ( B ` ( G |` w ) ) )
72	69, 71	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( ( G ` x ) = ( B ` ( G |` x ) ) <-> ( G ` w ) = ( B ` ( G |` w ) ) ) )
73	72	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. A /\ A. x e. A ( G ` x ) = ( B ` ( G |` x ) ) ) -> ( G ` w ) = ( B ` ( G |` w ) ) )
74	58, 68, 73	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( G ` w ) = ( B ` ( G |` w ) ) )
75	56, 66, 74	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( F ` w ) = ( G ` w ) )
76	75	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> A. w e. y ( F ` w ) = ( G ` w ) )
77	61, 69	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) )
78	77	cbvralv 3171	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> A. w e. y ( F ` w ) = ( G ` w ) )
79	76, 78	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) )
80	79	exp31 630	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. On ) -> ( A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
81	80	expcom 451	. . . . . 6 |- ( y e. On -> ( ph -> ( A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) )
82	81	a2d 29	. . . . 5 |- ( y e. On -> ( ( ph -> A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) -> ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) )
83	11, 82	syl5bi 232	. . . 4 |- ( y e. On -> ( A. z e. y ( ph -> ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) -> ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) )
84	6, 10, 83	tfis3 7057	. . 3 |- ( A e. On -> ( ph -> ( A C_ A -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
85	2, 84	mpcom 38	. 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
86	1, 85	mpi 20	1 |- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   dom cdm 5114   |` cres 5116   Ord word 5722   Oncon0 5723   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  tfrlem5  7476