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Theorem trfil2 21691
Description: Conditions for the trace of a filter L to be a filter. (Contributed by FL, 2-Sep-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfil2 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> A. v e. L ( v i^i A ) =/= (/) ) )
Distinct variable groups:   v, A   v, L   v, Y
Proof of Theorem trfil2
Dummy variables u x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A C_ Y )
2 sseqin2 3817 . . . . 5 |- ( A C_ Y <-> ( Y i^i A ) = A )
31, 2sylib 208 . . . 4 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( Y i^i A ) = A )
4 simpl 473 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
5 id 22 . . . . . 6 |- ( A C_ Y -> A C_ Y )
6 filtop 21659 . . . . . 6 |- ( L e. ( Fil ` Y ) -> Y e. L )
7 ssexg 4804 . . . . . 6 |- ( ( A C_ Y /\ Y e. L ) -> A e. _V )
85, 6, 7syl2anr 495 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A e. _V )
96adantr 481 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> Y e. L )
10 elrestr 16089 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A e. _V /\ Y e. L ) -> ( Y i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
114, 8, 9, 10syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( Y i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
123, 11eqeltrrd 2702 . . 3 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A e. ( L ↾t A ) )
13 elpwi 4168 . . . . 5 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
14 vex 3203 . . . . . . . . . 10 |- u e. _V
1514inex1 4799 . . . . . . . . 9 |- ( u i^i A ) e. _V
1615a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ u e. L ) -> ( u i^i A ) e. _V )
17 elrest 16088 . . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A e. _V ) -> ( y e. ( L ↾t A ) <-> E. u e. L y = ( u i^i A ) ) )
188, 17syldan 487 . . . . . . . . 9 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( y e. ( L ↾t A ) <-> E. u e. L y = ( u i^i A ) ) )
1918adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( y e. ( L ↾t A ) <-> E. u e. L y = ( u i^i A ) ) )
20 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ y = ( u i^i A ) ) -> y = ( u i^i A ) )
2120sseq1d 3632 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ y = ( u i^i A ) ) -> ( y C_ x <-> ( u i^i A ) C_ x ) )
2216, 19, 21rexxfr2d 4883 . . . . . . 7 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x <-> E. u e. L ( u i^i A ) C_ x ) )
23 indir 3875 . . . . . . . . . 10 |- ( ( u u. x ) i^i A ) = ( ( u i^i A ) u. ( x i^i A ) )
24 simplr 792 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> x C_ A )
25 df-ss 3588 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x C_ A <-> ( x i^i A ) = x )
2624, 25sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( x i^i A ) = x )
2726uneq2d 3767 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( ( u i^i A ) u. ( x i^i A ) ) = ( ( u i^i A ) u. x ) )
28 simprr 796 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( u i^i A ) C_ x )
29 ssequn1 3783 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u i^i A ) C_ x <-> ( ( u i^i A ) u. x ) = x )
3028, 29sylib 208 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( ( u i^i A ) u. x ) = x )
3127, 30eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( ( u i^i A ) u. ( x i^i A ) ) = x )
3223, 31syl5eq 2668 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( ( u u. x ) i^i A ) = x )
33 simplll 798 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
34 simpllr 799 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> A C_ Y )
3533, 34, 8syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> A e. _V )
36 simprl 794 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> u e. L )
37 filelss 21656 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ u e. L ) -> u C_ Y )
3833, 36, 37syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> u C_ Y )
3924, 34sstrd 3613 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> x C_ Y )
4038, 39unssd 3789 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( u u. x ) C_ Y )
41 ssun1 3776 . . . . . . . . . . . 12 |- u C_ ( u u. x )
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> u C_ ( u u. x ) )
43 filss 21657 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ ( u e. L /\ ( u u. x ) C_ Y /\ u C_ ( u u. x ) ) ) -> ( u u. x ) e. L )
4433, 36, 40, 42, 43syl13anc 1328 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( u u. x ) e. L )
45 elrestr 16089 . . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A e. _V /\ ( u u. x ) e. L ) -> ( ( u u. x ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
4633, 35, 44, 45syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> ( ( u u. x ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
4732, 46eqeltrrd 2702 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) /\ ( u e. L /\ ( u i^i A ) C_ x ) ) -> x e. ( L ↾t A ) )
4847rexlimdvaa 3032 . . . . . . 7 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( E. u e. L ( u i^i A ) C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) )
4922, 48sylbid 230 . . . . . 6 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x C_ A ) -> ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) )
5049ex 450 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( x C_ A -> ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) ) )
5113, 50syl5 34 . . . 4 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( x e. ~P A -> ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) ) )
5251ralrimiv 2965 . . 3 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) )
53 simpll 790 . . . . . 6 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( z e. L /\ u e. L ) ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
548adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( z e. L /\ u e. L ) ) -> A e. _V )
55 filin 21658 . . . . . . . 8 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ z e. L /\ u e. L ) -> ( z i^i u ) e. L )
56553expb 1266 . . . . . . 7 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ ( z e. L /\ u e. L ) ) -> ( z i^i u ) e. L )
5756adantlr 751 . . . . . 6 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( z e. L /\ u e. L ) ) -> ( z i^i u ) e. L )
58 elrestr 16089 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A e. _V /\ ( z i^i u ) e. L ) -> ( ( z i^i u ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
5953, 54, 57, 58syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ ( z e. L /\ u e. L ) ) -> ( ( z i^i u ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
6059ralrimivva 2971 . . . 4 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A. z e. L A. u e. L ( ( z i^i u ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) )
61 vex 3203 . . . . . . 7 |- z e. _V
6261inex1 4799 . . . . . 6 |- ( z i^i A ) e. _V
6362a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ z e. L ) -> ( z i^i A ) e. _V )
64 elrest 16088 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A e. _V ) -> ( x e. ( L ↾t A ) <-> E. z e. L x = ( z i^i A ) ) )
658, 64syldan 487 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( x e. ( L ↾t A ) <-> E. z e. L x = ( z i^i A ) ) )
6615a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x = ( z i^i A ) ) /\ u e. L ) -> ( u i^i A ) e. _V )
6718adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x = ( z i^i A ) ) -> ( y e. ( L ↾t A ) <-> E. u e. L y = ( u i^i A ) ) )
68 ineq12 3809 . . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( z i^i A ) /\ y = ( u i^i A ) ) -> ( x i^i y ) = ( ( z i^i A ) i^i ( u i^i A ) ) )
69 inindir 3831 . . . . . . . . 9 |- ( ( z i^i u ) i^i A ) = ( ( z i^i A ) i^i ( u i^i A ) )
7068, 69syl6eqr 2674 . . . . . . . 8 |- ( ( x = ( z i^i A ) /\ y = ( u i^i A ) ) -> ( x i^i y ) = ( ( z i^i u ) i^i A ) )
7170adantll 750 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x = ( z i^i A ) ) /\ y = ( u i^i A ) ) -> ( x i^i y ) = ( ( z i^i u ) i^i A ) )
7271eleq1d 2686 . . . . . 6 |- ( ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x = ( z i^i A ) ) /\ y = ( u i^i A ) ) -> ( ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) <-> ( ( z i^i u ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) ) )
7366, 67, 72ralxfr2d 4882 . . . . 5 |- ( ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) /\ x = ( z i^i A ) ) -> ( A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) <-> A. u e. L ( ( z i^i u ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) ) )
7463, 65, 73ralxfr2d 4882 . . . 4 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) <-> A. z e. L A. u e. L ( ( z i^i u ) i^i A ) e. ( L ↾t A ) ) )
7560, 74mpbird 247 . . 3 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) )
76 isfil2 21660 . . . . . 6 |- ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> ( ( ( L ↾t A ) C_ ~P A /\ -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) )
77 restsspw 16092 . . . . . . . 8 |- ( L ↾t A ) C_ ~P A
78 3anass 1042 . . . . . . . 8 |- ( ( ( L ↾t A ) C_ ~P A /\ -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) <-> ( ( L ↾t A ) C_ ~P A /\ ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) ) )
7977, 78mpbiran 953 . . . . . . 7 |- ( ( ( L ↾t A ) C_ ~P A /\ -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) <-> ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) )
80793anbi1i 1253 . . . . . 6 |- ( ( ( ( L ↾t A ) C_ ~P A /\ -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) <-> ( ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) )
81 3anass 1042 . . . . . 6 |- ( ( ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) <-> ( ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) )
8276, 80, 813bitri 286 . . . . 5 |- ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> ( ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) )
83 anass 681 . . . . 5 |- ( ( ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ A e. ( L ↾t A ) ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) <-> ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ ( A e. ( L ↾t A ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) ) )
84 ancom 466 . . . . 5 |- ( ( -. (/) e. ( L ↾t A ) /\ ( A e. ( L ↾t A ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) ) <-> ( ( A e. ( L ↾t A ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) /\ -. (/) e. ( L ↾t A ) ) )
8582, 83, 843bitri 286 . . . 4 |- ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> ( ( A e. ( L ↾t A ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) /\ -. (/) e. ( L ↾t A ) ) )
8685baib 944 . . 3 |- ( ( A e. ( L ↾t A ) /\ ( A. x e. ~P A ( E. y e. ( L ↾t A ) y C_ x -> x e. ( L ↾t A ) ) /\ A. x e. ( L ↾t A ) A. y e. ( L ↾t A ) ( x i^i y ) e. ( L ↾t A ) ) ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> -. (/) e. ( L ↾t A ) ) )
8712, 52, 75, 86syl12anc 1324 . 2 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> -. (/) e. ( L ↾t A ) ) )
88 nesym 2850 . . . 4 |- ( ( v i^i A ) =/= (/) <-> -. (/) = ( v i^i A ) )
8988ralbii 2980 . . 3 |- ( A. v e. L ( v i^i A ) =/= (/) <-> A. v e. L -. (/) = ( v i^i A ) )
90 elrest 16088 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A e. _V ) -> ( (/) e. ( L ↾t A ) <-> E. v e. L (/) = ( v i^i A ) ) )
918, 90syldan 487 . . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( (/) e. ( L ↾t A ) <-> E. v e. L (/) = ( v i^i A ) ) )
92 dfrex2 2996 . . . . 5 |- ( E. v e. L (/) = ( v i^i A ) <-> -. A. v e. L -. (/) = ( v i^i A ) )
9391, 92syl6bb 276 . . . 4 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( (/) e. ( L ↾t A ) <-> -. A. v e. L -. (/) = ( v i^i A ) ) )
9493con2bid 344 . . 3 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( A. v e. L -. (/) = ( v i^i A ) <-> -. (/) e. ( L ↾t A ) ) )
9589, 94syl5bb 272 . 2 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( A. v e. L ( v i^i A ) =/= (/) <-> -. (/) e. ( L ↾t A ) ) )
9687, 95bitr4d 271 1 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> A. v e. L ( v i^i A ) =/= (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾t crest 16081   Filcfil 21649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-rest 16083  df-fbas 19743  df-fil 21650
This theorem is referenced by:  trfil3  21692  trnei  21696
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