Theorem trfil3 21692

Description: Conditions for the trace of a filter L to be a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfil3	|- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> -. ( Y \ A ) e. L ) )

Proof of Theorem trfil3

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trfil2 21691	. 2 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> A. v e. L ( v i^i A ) =/= (/) ) )
2		dfral2 2994	. . 3 |- ( A. v e. L ( v i^i A ) =/= (/) <-> -. E. v e. L -. ( v i^i A ) =/= (/) )
3		nne 2798	. . . . . . . 8 |- ( -. ( v i^i A ) =/= (/) <-> ( v i^i A ) = (/) )
4		filelss 21656	. . . . . . . . 9 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ v e. L ) -> v C_ Y )
5		reldisj 4020	. . . . . . . . 9 |- ( v C_ Y -> ( ( v i^i A ) = (/) <-> v C_ ( Y \ A ) ) )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ v e. L ) -> ( ( v i^i A ) = (/) <-> v C_ ( Y \ A ) ) )
7	3, 6	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ v e. L ) -> ( -. ( v i^i A ) =/= (/) <-> v C_ ( Y \ A ) ) )
8	7	rexbidva 3049	. . . . . 6 |- ( L e. ( Fil ` Y ) -> ( E. v e. L -. ( v i^i A ) =/= (/) <-> E. v e. L v C_ ( Y \ A ) ) )
9	8	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( E. v e. L -. ( v i^i A ) =/= (/) <-> E. v e. L v C_ ( Y \ A ) ) )
10		difssd 3738	. . . . . 6 |- ( A C_ Y -> ( Y \ A ) C_ Y )
11		elfilss 21680	. . . . . 6 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ ( Y \ A ) C_ Y ) -> ( ( Y \ A ) e. L <-> E. v e. L v C_ ( Y \ A ) ) )
12	10, 11	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( Y \ A ) e. L <-> E. v e. L v C_ ( Y \ A ) ) )
13	9, 12	bitr4d 271	. . . 4 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( E. v e. L -. ( v i^i A ) =/= (/) <-> ( Y \ A ) e. L ) )
14	13	notbid 308	. . 3 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( -. E. v e. L -. ( v i^i A ) =/= (/) <-> -. ( Y \ A ) e. L ) )
15	2, 14	syl5bb 272	. 2 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( A. v e. L ( v i^i A ) =/= (/) <-> -. ( Y \ A ) e. L ) )
16	1, 15	bitrd 268	1 |- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( ( L ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> -. ( Y \ A ) e. L ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   Filcfil 21649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-rest 16083  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650

This theorem is referenced by:  fgtr  21694  trufil  21714  flimrest  21787  fclsrest  21828  cfilres  23094  relcmpcmet  23115