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Theorem cfilres 23094
Description: Cauchy filter on a metric subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilres |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( F e. (CauFil ` D ) <-> ( F ↾t Y ) e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) )
Proof of Theorem cfilres
Dummy variables u s v x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1062 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> F e. ( Fil ` X ) )
2 filfbas 21652 . . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )
31, 2syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> F e. ( fBas ` X ) )
4 simp3 1063 . . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> Y e. F )
5 fbncp 21643 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ Y e. F ) -> -. ( X \ Y ) e. F )
63, 4, 5syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> -. ( X \ Y ) e. F )
7 filelss 21656 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> Y C_ X )
873adant1 1079 . . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> Y C_ X )
9 trfil3 21692 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( ( F ↾t Y ) e. ( Fil ` Y ) <-> -. ( X \ Y ) e. F ) )
101, 8, 9syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( ( F ↾t Y ) e. ( Fil ` Y ) <-> -. ( X \ Y ) e. F ) )
116, 10mpbird 247 . . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( F ↾t Y ) e. ( Fil ` Y ) )
1211adantr 481 . . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ F e. (CauFil ` D ) ) -> ( F ↾t Y ) e. ( Fil ` Y ) )
13 cfili 23066 . . . . . . 7 |- ( ( F e. (CauFil ` D ) /\ x e. RR+ ) -> E. s e. F A. u e. s A. v e. s ( u D v ) < x )
1413adantll 750 . . . . . 6 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ F e. (CauFil ` D ) ) /\ x e. RR+ ) -> E. s e. F A. u e. s A. v e. s ( u D v ) < x )
15 simpll2 1101 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ F e. (CauFil ` D ) ) /\ x e. RR+ ) -> F e. ( Fil ` X ) )
16 simpll3 1102 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ F e. (CauFil ` D ) ) /\ x e. RR+ ) -> Y e. F )
1715, 16jca 554 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ F e. (CauFil ` D ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) )
18 elrestr 16089 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F /\ s e. F ) -> ( s i^i Y ) e. ( F ↾t Y ) )
19183expa 1265 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ s e. F ) -> ( s i^i Y ) e. ( F ↾t Y ) )
2017, 19sylan 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ F e. (CauFil ` D ) ) /\ x e. RR+ ) /\ s e. F ) -> ( s i^i Y ) e. ( F ↾t Y ) )
21 inss1 3833 . . . . . . . . . 10 |- ( s i^i Y ) C_ s
22 ssralv 3666 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s i^i Y ) C_ s -> ( A. v e. s ( u D v ) < x -> A. v e. ( s i^i Y ) ( u D v ) < x ) )
2322ralimdv 2963 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s i^i Y ) C_ s -> ( A. u e. s A. v e. s ( u D v ) < x -> A. u e. s A. v e. ( s i^i Y ) ( u D v ) < x ) )
24 ssralv 3666 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s i^i Y ) C_ s -> ( A. u e. s A. v e. ( s i^i Y ) ( u D v ) < x -> A. u e. ( s i^i Y ) A. v e. ( s i^i Y ) ( u D v ) < x ) )
2523, 24syld 47 . . . . . . . . . 10 |- ( ( s i^i Y ) C_ s -> ( A. u e. s A. v e. s ( u D v ) < x -> A. u e. ( s i^i Y ) A. v e. ( s i^i Y ) ( u D v ) < x ) )
2621, 25ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( A. u e. s A. v e. s ( u D v ) < x -> A. u e. ( s i^i Y ) A. v e. ( s i^i Y ) ( u D v ) < x )
27 inss2 3834 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s i^i Y ) C_ Y
2827sseli 3599 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( s i^i Y ) -> u e. Y )
2927sseli 3599 . . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ( s i^i Y ) -> v e. Y )
30 ovres 6800 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. Y /\ v e. Y ) -> ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) = ( u D v ) )
3130breq1d 4663 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. Y /\ v e. Y ) -> ( ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x <-> ( u D v ) < x ) )
3228, 29, 31syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. ( s i^i Y ) /\ v e. ( s i^i Y ) ) -> ( ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x <-> ( u D v ) < x ) )
3332ralbidva 2985 . . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( s i^i Y ) -> ( A. v e. ( s i^i Y ) ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x <-> A. v e. ( s i^i Y ) ( u D v ) < x ) )
3433ralbiia 2979 . . . . . . . . 9 |- ( A. u e. ( s i^i Y ) A. v e. ( s i^i Y ) ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x <-> A. u e. ( s i^i Y ) A. v e. ( s i^i Y ) ( u D v ) < x )
3526, 34sylibr 224 . . . . . . . 8 |- ( A. u e. s A. v e. s ( u D v ) < x -> A. u e. ( s i^i Y ) A. v e. ( s i^i Y ) ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x )
36 raleq 3138 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( s i^i Y ) -> ( A. v e. y ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x <-> A. v e. ( s i^i Y ) ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x ) )
3736raleqbi1dv 3146 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( s i^i Y ) -> ( A. u e. y A. v e. y ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x <-> A. u e. ( s i^i Y ) A. v e. ( s i^i Y ) ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x ) )
3837rspcev 3309 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( s i^i Y ) e. ( F ↾t Y ) /\ A. u e. ( s i^i Y ) A. v e. ( s i^i Y ) ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x ) -> E. y e. ( F ↾t Y ) A. u e. y A. v e. y ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x )
3938ex 450 . . . . . . . 8 |- ( ( s i^i Y ) e. ( F ↾t Y ) -> ( A. u e. ( s i^i Y ) A. v e. ( s i^i Y ) ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x -> E. y e. ( F ↾t Y ) A. u e. y A. v e. y ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x ) )
4020, 35, 39syl2im 40 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ F e. (CauFil ` D ) ) /\ x e. RR+ ) /\ s e. F ) -> ( A. u e. s A. v e. s ( u D v ) < x -> E. y e. ( F ↾t Y ) A. u e. y A. v e. y ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x ) )
4140rexlimdva 3031 . . . . . 6 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ F e. (CauFil ` D ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. s e. F A. u e. s A. v e. s ( u D v ) < x -> E. y e. ( F ↾t Y ) A. u e. y A. v e. y ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x ) )
4214, 41mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ F e. (CauFil ` D ) ) /\ x e. RR+ ) -> E. y e. ( F ↾t Y ) A. u e. y A. v e. y ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x )
4342ralrimiva 2966 . . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ F e. (CauFil ` D ) ) -> A. x e. RR+ E. y e. ( F ↾t Y ) A. u e. y A. v e. y ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x )
44 simp1 1061 . . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> D e. ( *Met ` X ) )
45 xmetres2 22166 . . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) )
4644, 8, 45syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) )
4746adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ F e. (CauFil ` D ) ) -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) )
48 iscfil2 23064 . . . . 5 |- ( ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) -> ( ( F ↾t Y ) e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) <-> ( ( F ↾t Y ) e. ( Fil ` Y ) /\ A. x e. RR+ E. y e. ( F ↾t Y ) A. u e. y A. v e. y ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x ) ) )
4947, 48syl 17 . . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ F e. (CauFil ` D ) ) -> ( ( F ↾t Y ) e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) <-> ( ( F ↾t Y ) e. ( Fil ` Y ) /\ A. x e. RR+ E. y e. ( F ↾t Y ) A. u e. y A. v e. y ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x ) ) )
5012, 43, 49mpbir2and 957 . . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ F e. (CauFil ` D ) ) -> ( F ↾t Y ) e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) )
5150ex 450 . 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( F e. (CauFil ` D ) -> ( F ↾t Y ) e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) )
52 cfilresi 23093 . . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( F ↾t Y ) e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) -> ( X filGen ( F ↾t Y ) ) e. (CauFil ` D ) )
5352ex 450 . . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ( F ↾t Y ) e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) -> ( X filGen ( F ↾t Y ) ) e. (CauFil ` D ) ) )
54533ad2ant1 1082 . . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( ( F ↾t Y ) e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) -> ( X filGen ( F ↾t Y ) ) e. (CauFil ` D ) ) )
55 fgtr 21694 . . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( X filGen ( F ↾t Y ) ) = F )
56553adant1 1079 . . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( X filGen ( F ↾t Y ) ) = F )
5756eleq1d 2686 . . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( ( X filGen ( F ↾t Y ) ) e. (CauFil ` D ) <-> F e. (CauFil ` D ) ) )
5854, 57sylibd 229 . 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( ( F ↾t Y ) e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) -> F e. (CauFil ` D ) ) )
5951, 58impbid 202 1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( F e. (CauFil ` D ) <-> ( F ↾t Y ) e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   < clt 10074   RR+crp 11832   ↾t crest 16081   *Metcxmt 19731   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   Filcfil 21649  CauFilccfil 23050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-rest 16083  df-xmet 19739  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650  df-cfil 23053
This theorem is referenced by:  cmetss  23113
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