Theorem fgtr 21694

Description: If A is a member of the filter, then truncating F to A and regenerating the behavior outside A using filGen recovers the original filter. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fgtr	|- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> ( X filGen ( F ↾t A ) ) = F )

Proof of Theorem fgtr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filfbas 21652	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )
2		fbncp 21643	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ A e. F ) -> -. ( X \ A ) e. F )
3	1, 2	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> -. ( X \ A ) e. F )
4		filelss 21656	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> A C_ X )
5		trfil3 21692	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A C_ X ) -> ( ( F ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> -. ( X \ A ) e. F ) )
6	4, 5	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> ( ( F ↾t A ) e. ( Fil ` A ) <-> -. ( X \ A ) e. F ) )
7	3, 6	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> ( F ↾t A ) e. ( Fil ` A ) )
8		filfbas 21652	. . . . . 6 |- ( ( F ↾t A ) e. ( Fil ` A ) -> ( F ↾t A ) e. ( fBas ` A ) )
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> ( F ↾t A ) e. ( fBas ` A ) )
10		restsspw 16092	. . . . . 6 |- ( F ↾t A ) C_ ~P A
11		sspwb 4917	. . . . . . 7 |- ( A C_ X <-> ~P A C_ ~P X )
12	4, 11	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> ~P A C_ ~P X )
13	10, 12	syl5ss 3614	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> ( F ↾t A ) C_ ~P X )
14		filtop 21659	. . . . . 6 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F )
15	14	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> X e. F )
16		fbasweak 21669	. . . . 5 |- ( ( ( F ↾t A ) e. ( fBas ` A ) /\ ( F ↾t A ) C_ ~P X /\ X e. F ) -> ( F ↾t A ) e. ( fBas ` X ) )
17	9, 13, 15, 16	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> ( F ↾t A ) e. ( fBas ` X ) )
18	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> F e. ( fBas ` X ) )
19		trfilss 21693	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> ( F ↾t A ) C_ F )
20		fgss 21677	. . . 4 |- ( ( ( F ↾t A ) e. ( fBas ` X ) /\ F e. ( fBas ` X ) /\ ( F ↾t A ) C_ F ) -> ( X filGen ( F ↾t A ) ) C_ ( X filGen F ) )
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> ( X filGen ( F ↾t A ) ) C_ ( X filGen F ) )
22		fgfil 21679	. . . 4 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( X filGen F ) = F )
23	22	adantr 481	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> ( X filGen F ) = F )
24	21, 23	sseqtrd 3641	. 2 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> ( X filGen ( F ↾t A ) ) C_ F )
25		filelss 21656	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ x e. F ) -> x C_ X )
26	25	ex 450	. . . . . 6 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( x e. F -> x C_ X ) )
27	26	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> ( x e. F -> x C_ X ) )
28		elrestr 16089	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F /\ x e. F ) -> ( x i^i A ) e. ( F ↾t A ) )
29	28	3expa 1265	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) /\ x e. F ) -> ( x i^i A ) e. ( F ↾t A ) )
30		inss1 3833	. . . . . . 7 |- ( x i^i A ) C_ x
31		sseq1 3626	. . . . . . . 8 |- ( y = ( x i^i A ) -> ( y C_ x <-> ( x i^i A ) C_ x ) )
32	31	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( x i^i A ) e. ( F ↾t A ) /\ ( x i^i A ) C_ x ) -> E. y e. ( F ↾t A ) y C_ x )
33	29, 30, 32	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) /\ x e. F ) -> E. y e. ( F ↾t A ) y C_ x )
34	33	ex 450	. . . . 5 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> ( x e. F -> E. y e. ( F ↾t A ) y C_ x ) )
35	27, 34	jcad 555	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> ( x e. F -> ( x C_ X /\ E. y e. ( F ↾t A ) y C_ x ) ) )
36		elfg 21675	. . . . 5 |- ( ( F ↾t A ) e. ( fBas ` X ) -> ( x e. ( X filGen ( F ↾t A ) ) <-> ( x C_ X /\ E. y e. ( F ↾t A ) y C_ x ) ) )
37	17, 36	syl 17	. . . 4 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> ( x e. ( X filGen ( F ↾t A ) ) <-> ( x C_ X /\ E. y e. ( F ↾t A ) y C_ x ) ) )
38	35, 37	sylibrd 249	. . 3 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> ( x e. F -> x e. ( X filGen ( F ↾t A ) ) ) )
39	38	ssrdv 3609	. 2 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> F C_ ( X filGen ( F ↾t A ) ) )
40	24, 39	eqssd 3620	1 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ A e. F ) -> ( X filGen ( F ↾t A ) ) = F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   Filcfil 21649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-rest 16083  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650

This theorem is referenced by:  cfilres  23094