Theorem ttukeylem1 9331

Description: Lemma for ttukey 9340. Expand out the property of being an element of a property of finite character. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttukeylem.1	|- ( ph -> F : ( card ` ( U. A \ B ) ) -1-1-onto-> ( U. A \ B ) )
ttukeylem.2	|- ( ph -> B e. A )
ttukeylem.3	|- ( ph -> A. x ( x e. A <-> ( ~P x i^i Fin ) C_ A ) )

Assertion

Ref	Expression
ttukeylem1	|- ( ph -> ( C e. A <-> ( ~P C i^i Fin ) C_ A ) )

Distinct variable groups:   x, C   x, A   x, B   x, F

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem ttukeylem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. . 3 |- ( C e. A -> C e. _V )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( C e. A -> C e. _V ) )
3		id 22	. . . . 5 |- ( ( ~P C i^i Fin ) C_ A -> ( ~P C i^i Fin ) C_ A )
4		ssun1 3776	. . . . . . . 8 |- U. A C_ ( U. A u. B )
5		undif1 4043	. . . . . . . 8 |- ( ( U. A \ B ) u. B ) = ( U. A u. B )
6	4, 5	sseqtr4i 3638	. . . . . . 7 |- U. A C_ ( ( U. A \ B ) u. B )
7		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( card ` ( U. A \ B ) ) e. _V
8		ttukeylem.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : ( card ` ( U. A \ B ) ) -1-1-onto-> ( U. A \ B ) )
9		f1ofo 6144	. . . . . . . . . 10 |- ( F : ( card ` ( U. A \ B ) ) -1-1-onto-> ( U. A \ B ) -> F : ( card ` ( U. A \ B ) ) -onto-> ( U. A \ B ) )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : ( card ` ( U. A \ B ) ) -onto-> ( U. A \ B ) )
11		fornex 7135	. . . . . . . . 9 |- ( ( card ` ( U. A \ B ) ) e. _V -> ( F : ( card ` ( U. A \ B ) ) -onto-> ( U. A \ B ) -> ( U. A \ B ) e. _V ) )
12	7, 10, 11	mpsyl 68	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U. A \ B ) e. _V )
13		ttukeylem.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. A )
14		unexg 6959	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U. A \ B ) e. _V /\ B e. A ) -> ( ( U. A \ B ) u. B ) e. _V )
15	12, 13, 14	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( U. A \ B ) u. B ) e. _V )
16		ssexg 4804	. . . . . . 7 |- ( ( U. A C_ ( ( U. A \ B ) u. B ) /\ ( ( U. A \ B ) u. B ) e. _V ) -> U. A e. _V )
17	6, 15, 16	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> U. A e. _V )
18		uniexb 6973	. . . . . 6 |- ( A e. _V <-> U. A e. _V )
19	17, 18	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
20		ssexg 4804	. . . . 5 |- ( ( ( ~P C i^i Fin ) C_ A /\ A e. _V ) -> ( ~P C i^i Fin ) e. _V )
21	3, 19, 20	syl2anr 495	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ~P C i^i Fin ) C_ A ) -> ( ~P C i^i Fin ) e. _V )
22		infpwfidom 8851	. . . 4 |- ( ( ~P C i^i Fin ) e. _V -> C ~<_ ( ~P C i^i Fin ) )
23		reldom 7961	. . . . 5 |- Rel ~<_
24	23	brrelexi 5158	. . . 4 |- ( C ~<_ ( ~P C i^i Fin ) -> C e. _V )
25	21, 22, 24	3syl 18	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ~P C i^i Fin ) C_ A ) -> C e. _V )
26	25	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( ( ~P C i^i Fin ) C_ A -> C e. _V ) )
27		ttukeylem.3	. . 3 |- ( ph -> A. x ( x e. A <-> ( ~P x i^i Fin ) C_ A ) )
28		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( x = C -> ( x e. A <-> C e. A ) )
29		pweq 4161	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ~P x = ~P C )
30	29	ineq1d 3813	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( ~P x i^i Fin ) = ( ~P C i^i Fin ) )
31	30	sseq1d 3632	. . . . 5 |- ( x = C -> ( ( ~P x i^i Fin ) C_ A <-> ( ~P C i^i Fin ) C_ A ) )
32	28, 31	bibi12d 335	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( x e. A <-> ( ~P x i^i Fin ) C_ A ) <-> ( C e. A <-> ( ~P C i^i Fin ) C_ A ) ) )
33	32	spcgv 3293	. . 3 |- ( C e. _V -> ( A. x ( x e. A <-> ( ~P x i^i Fin ) C_ A ) -> ( C e. A <-> ( ~P C i^i Fin ) C_ A ) ) )
34	27, 33	syl5com 31	. 2 |- ( ph -> ( C e. _V -> ( C e. A <-> ( ~P C i^i Fin ) C_ A ) ) )
35	2, 26, 34	pm5.21ndd 369	1 |- ( ph -> ( C e. A <-> ( ~P C i^i Fin ) C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  ttukeylem2  9332  ttukeylem6  9336