Theorem ttukeylem6 9336

Description: Lemma for ttukey 9340. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttukeylem.1	|- ( ph -> F : ( card ` ( U. A \ B ) ) -1-1-onto-> ( U. A \ B ) )
ttukeylem.2	|- ( ph -> B e. A )
ttukeylem.3	|- ( ph -> A. x ( x e. A <-> ( ~P x i^i Fin ) C_ A ) )
ttukeylem.4	|- G = recs ( ( z e. _V |-> if ( dom z = U. dom z , if ( dom z = (/) , B , U. ran z ) , ( ( z ` U. dom z ) u. if ( ( ( z ` U. dom z ) u. { ( F ` U. dom z ) } ) e. A , { ( F ` U. dom z ) } , (/) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ttukeylem6	|- ( ( ph /\ C e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) ) -> ( G ` C ) e. A )

Distinct variable groups:   x, z, C   x, G, z   ph, z   x, A, z   x, B, z   x, F, z

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem ttukeylem6

Dummy variables a y f u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardon 8770	. . . . 5 |- ( card ` ( U. A \ B ) ) e. On
2	1	onsuci 7038	. . . 4 |- suc ( card ` ( U. A \ B ) ) e. On
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> suc ( card ` ( U. A \ B ) ) e. On )
4		onelon 5748	. . 3 |- ( ( suc ( card ` ( U. A \ B ) ) e. On /\ C e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) ) -> C e. On )
5	3, 4	sylan 488	. 2 |- ( ( ph /\ C e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) ) -> C e. On )
6		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( y = a -> ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) <-> a e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) ) )
7		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( y = a -> ( G ` y ) = ( G ` a ) )
8	7	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( y = a -> ( ( G ` y ) e. A <-> ( G ` a ) e. A ) )
9	6, 8	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( y = a -> ( ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` y ) e. A ) <-> ( a e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` a ) e. A ) ) )
10	9	imbi2d 330	. . . 4 |- ( y = a -> ( ( ph -> ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` y ) e. A ) ) <-> ( ph -> ( a e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` a ) e. A ) ) ) )
11		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( y = C -> ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) <-> C e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) ) )
12		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( y = C -> ( G ` y ) = ( G ` C ) )
13	12	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( y = C -> ( ( G ` y ) e. A <-> ( G ` C ) e. A ) )
14	11, 13	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( y = C -> ( ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` y ) e. A ) <-> ( C e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` C ) e. A ) ) )
15	14	imbi2d 330	. . . 4 |- ( y = C -> ( ( ph -> ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` y ) e. A ) ) <-> ( ph -> ( C e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` C ) e. A ) ) ) )
16		r19.21v 2960	. . . . . 6 |- ( A. a e. y ( ph -> ( a e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` a ) e. A ) ) <-> ( ph -> A. a e. y ( a e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` a ) e. A ) ) )
17	2	onordi 5832	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Ord suc ( card ` ( U. A \ B ) )
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Ord suc ( card ` ( U. A \ B ) ) )
19		ordelss 5739	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) ) -> y C_ suc ( card ` ( U. A \ B ) ) )
20	18, 19	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) ) -> y C_ suc ( card ` ( U. A \ B ) ) )
21	20	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) ) /\ a e. y ) -> a e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) )
22		biimt 350	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( ( G ` a ) e. A <-> ( a e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` a ) e. A ) ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) ) /\ a e. y ) -> ( ( G ` a ) e. A <-> ( a e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` a ) e. A ) ) )
24	23	ralbidva 2985	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) ) -> ( A. a e. y ( G ` a ) e. A <-> A. a e. y ( a e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` a ) e. A ) ) )
25	2	onssi 7037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- suc ( card ` ( U. A \ B ) ) C_ On
26		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) -> y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) )
27	25, 26	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) -> y e. On )
28		ttukeylem.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : ( card ` ( U. A \ B ) ) -1-1-onto-> ( U. A \ B ) )
29		ttukeylem.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. A )
30		ttukeylem.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x ( x e. A <-> ( ~P x i^i Fin ) C_ A ) )
31		ttukeylem.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- G = recs ( ( z e. _V |-> if ( dom z = U. dom z , if ( dom z = (/) , B , U. ran z ) , ( ( z ` U. dom z ) u. if ( ( ( z ` U. dom z ) u. { ( F ` U. dom z ) } ) e. A , { ( F ` U. dom z ) } , (/) ) ) ) ) )
32	28, 29, 30, 31	ttukeylem3 9333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. On ) -> ( G ` y ) = if ( y = U. y , if ( y = (/) , B , U. ( G " y ) ) , ( ( G ` U. y ) u. if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) ) ) )
33	27, 32	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) -> ( G ` y ) = if ( y = U. y , if ( y = (/) , B , U. ( G " y ) ) , ( ( G ` U. y ) u. if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) ) ) )
34	29	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ y = (/) ) -> B e. A )
35		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) C_ Fin
36		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) -> w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) )
37	35, 36	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) -> w e. Fin )
38		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) C_ ~P U. ( G " y )
39	38, 36	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) -> w e. ~P U. ( G " y ) )
40	39	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) -> w C_ U. ( G " y ) )
41	31	tfr1 7493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- G Fn On
42		fnfun 5988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( G Fn On -> Fun G )
43		funiunfv 6506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Fun G -> U_ v e. y ( G ` v ) = U. ( G " y ) )
44	41, 42, 43	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- U_ v e. y ( G ` v ) = U. ( G " y )
45	40, 44	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) -> w C_ U_ v e. y ( G ` v ) )
46		dfss3 3592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w C_ U_ v e. y ( G ` v ) <-> A. u e. w u e. U_ v e. y ( G ` v ) )
47		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( u e. U_ v e. y ( G ` v ) <-> E. v e. y u e. ( G ` v ) )
48	47	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. u e. w u e. U_ v e. y ( G ` v ) <-> A. u e. w E. v e. y u e. ( G ` v ) )
49	46, 48	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w C_ U_ v e. y ( G ` v ) <-> A. u e. w E. v e. y u e. ( G ` v ) )
50	45, 49	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) -> A. u e. w E. v e. y u e. ( G ` v ) )
51		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v = ( f ` u ) -> ( G ` v ) = ( G ` ( f ` u ) ) )
52	51	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = ( f ` u ) -> ( u e. ( G ` v ) <-> u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) )
53	52	ac6sfi 8204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( w e. Fin /\ A. u e. w E. v e. y u e. ( G ` v ) ) -> E. f ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) )
54	37, 50, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) -> E. f ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) )
55		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = (/) -> ( w e. A <-> (/) e. A ) )
56		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) /\ w =/= (/) ) -> ph )
57		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) -> f : w --> y )
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) /\ w =/= (/) ) -> f : w --> y )
59		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f : w --> y -> ran f C_ y )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) /\ w =/= (/) ) -> ran f C_ y )
61	27	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) /\ w =/= (/) ) -> y e. On )
62		onss 6990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y e. On -> y C_ On )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) /\ w =/= (/) ) -> y C_ On )
64	60, 63	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) /\ w =/= (/) ) -> ran f C_ On )
65	37	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) -> w e. Fin )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) /\ w =/= (/) ) -> w e. Fin )
67		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( f : w --> y -> f Fn w )
68	58, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) /\ w =/= (/) ) -> f Fn w )
69		dffn4 6121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( f Fn w <-> f : w -onto-> ran f )
70	68, 69	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) /\ w =/= (/) ) -> f : w -onto-> ran f )
71		fofi 8252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( w e. Fin /\ f : w -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
72	66, 70, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) /\ w =/= (/) ) -> ran f e. Fin )
73		dm0rn0 5342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( dom f = (/) <-> ran f = (/) )
74		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( f : w --> y -> dom f = w )
75	57, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) -> dom f = w )
76	75	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) -> ( dom f = (/) <-> w = (/) ) )
77	73, 76	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) -> ( ran f = (/) <-> w = (/) ) )
78	77	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) -> ( ran f =/= (/) <-> w =/= (/) ) )
79	78	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) /\ w =/= (/) ) -> ran f =/= (/) )
80		ordunifi 8210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ran f C_ On /\ ran f e. Fin /\ ran f =/= (/) ) -> U. ran f e. ran f )
81	64, 72, 79, 80	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) /\ w =/= (/) ) -> U. ran f e. ran f )
82	60, 81	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) /\ w =/= (/) ) -> U. ran f e. y )
83		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) -> A. a e. y ( G ` a ) e. A )
84	83	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) /\ w =/= (/) ) -> A. a e. y ( G ` a ) e. A )
85		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( a = U. ran f -> ( G ` a ) = ( G ` U. ran f ) )
86	85	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( a = U. ran f -> ( ( G ` a ) e. A <-> ( G ` U. ran f ) e. A ) )
87	86	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( U. ran f e. y -> ( A. a e. y ( G ` a ) e. A -> ( G ` U. ran f ) e. A ) )
88	82, 84, 87	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) /\ w =/= (/) ) -> ( G ` U. ran f ) e. A )
89		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) /\ ( f : w --> y /\ u e. w ) ) -> ph )
90	27	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) /\ ( f : w --> y /\ u e. w ) ) -> y e. On )
91	90, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) /\ ( f : w --> y /\ u e. w ) ) -> y C_ On )
92		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( f : w --> y /\ u e. w ) -> ( f ` u ) e. y )
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) /\ ( f : w --> y /\ u e. w ) ) -> ( f ` u ) e. y )
94	91, 93	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) /\ ( f : w --> y /\ u e. w ) ) -> ( f ` u ) e. On )
95	59	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) /\ ( f : w --> y /\ u e. w ) ) -> ran f C_ y )
96	95, 91	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) /\ ( f : w --> y /\ u e. w ) ) -> ran f C_ On )
97		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- f e. _V
98	97	rnex 7100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ran f e. _V
99	98	ssonunii 6987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ran f C_ On -> U. ran f e. On )
100	96, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) /\ ( f : w --> y /\ u e. w ) ) -> U. ran f e. On )
101	67	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) /\ ( f : w --> y /\ u e. w ) ) -> f Fn w )
102		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) /\ ( f : w --> y /\ u e. w ) ) -> u e. w )
103		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( f Fn w /\ u e. w ) -> ( f ` u ) e. ran f )
104	101, 102, 103	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) /\ ( f : w --> y /\ u e. w ) ) -> ( f ` u ) e. ran f )
105		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( f ` u ) e. ran f -> ( f ` u ) C_ U. ran f )
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) /\ ( f : w --> y /\ u e. w ) ) -> ( f ` u ) C_ U. ran f )
107	28, 29, 30, 31	ttukeylem5 9335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ ( ( f ` u ) e. On /\ U. ran f e. On /\ ( f ` u ) C_ U. ran f ) ) -> ( G ` ( f ` u ) ) C_ ( G ` U. ran f ) )
108	89, 94, 100, 106, 107	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) /\ ( f : w --> y /\ u e. w ) ) -> ( G ` ( f ` u ) ) C_ ( G ` U. ran f ) )
109	108	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) /\ ( f : w --> y /\ u e. w ) ) -> ( u e. ( G ` ( f ` u ) ) -> u e. ( G ` U. ran f ) ) )
110	109	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) /\ f : w --> y ) /\ u e. w ) -> ( u e. ( G ` ( f ` u ) ) -> u e. ( G ` U. ran f ) ) )
111	110	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) /\ f : w --> y ) -> ( A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) -> A. u e. w u e. ( G ` U. ran f ) ) )
112	111	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) -> ( ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) -> A. u e. w u e. ( G ` U. ran f ) ) )
113	112	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) -> A. u e. w u e. ( G ` U. ran f ) )
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) /\ w =/= (/) ) -> A. u e. w u e. ( G ` U. ran f ) )
115		dfss3 3592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w C_ ( G ` U. ran f ) <-> A. u e. w u e. ( G ` U. ran f ) )
116	114, 115	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) /\ w =/= (/) ) -> w C_ ( G ` U. ran f ) )
117	28, 29, 30	ttukeylem2 9332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( ( G ` U. ran f ) e. A /\ w C_ ( G ` U. ran f ) ) ) -> w e. A )
118	56, 88, 116, 117	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) /\ w =/= (/) ) -> w e. A )
119		0ss 3972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (/) C_ B
120	28, 29, 30	ttukeylem2 9332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( B e. A /\ (/) C_ B ) ) -> (/) e. A )
121	119, 120	mpanr2 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ B e. A ) -> (/) e. A )
122	29, 121	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> (/) e. A )
123	122	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) -> (/) e. A )
124	55, 118, 123	pm2.61ne 2879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) /\ ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) ) ) -> w e. A )
125	124	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) -> ( ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) -> w e. A ) )
126	125	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) -> ( E. f ( f : w --> y /\ A. u e. w u e. ( G ` ( f ` u ) ) ) -> w e. A ) )
127	54, 126	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) ) -> w e. A )
128	127	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) -> ( w e. ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) -> w e. A ) )
129	128	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) -> ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) C_ A )
130	28, 29, 30	ttukeylem1 9331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( U. ( G " y ) e. A <-> ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) C_ A ) )
131	130	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) -> ( U. ( G " y ) e. A <-> ( ~P U. ( G " y ) i^i Fin ) C_ A ) )
132	129, 131	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) -> U. ( G " y ) e. A )
133	132	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) /\ -. y = (/) ) -> U. ( G " y ) e. A )
134	34, 133	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ y = U. y ) -> if ( y = (/) , B , U. ( G " y ) ) e. A )
135		uneq2 3761	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { ( F ` U. y ) } = if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) -> ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) = ( ( G ` U. y ) u. if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) ) )
136	135	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { ( F ` U. y ) } = if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) -> ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A <-> ( ( G ` U. y ) u. if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) ) e. A ) )
137		un0 3967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` U. y ) u. (/) ) = ( G ` U. y )
138		uneq2 3761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (/) = if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) -> ( ( G ` U. y ) u. (/) ) = ( ( G ` U. y ) u. if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) ) )
139	137, 138	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (/) = if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) -> ( G ` U. y ) = ( ( G ` U. y ) u. if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) ) )
140	139	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) = if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) -> ( ( G ` U. y ) e. A <-> ( ( G ` U. y ) u. if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) ) e. A ) )
141		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ -. y = U. y ) /\ ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A ) -> ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A )
142		vuniex 6954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. y e. _V
143	142	sucid 5804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. y e. suc U. y
144		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. On -> Ord y )
145		orduniorsuc 7030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord y -> ( y = U. y \/ y = suc U. y ) )
146	27, 144, 145	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) -> ( y = U. y \/ y = suc U. y ) )
147	146	orcanai 952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ -. y = U. y ) -> y = suc U. y )
148	143, 147	syl5eleqr 2708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ -. y = U. y ) -> U. y e. y )
149		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ -. y = U. y ) -> A. a e. y ( G ` a ) e. A )
150		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = U. y -> ( G ` a ) = ( G ` U. y ) )
151	150	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = U. y -> ( ( G ` a ) e. A <-> ( G ` U. y ) e. A ) )
152	151	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. y e. y -> ( A. a e. y ( G ` a ) e. A -> ( G ` U. y ) e. A ) )
153	148, 149, 152	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ -. y = U. y ) -> ( G ` U. y ) e. A )
154	153	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ -. y = U. y ) /\ -. ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A ) -> ( G ` U. y ) e. A )
155	136, 140, 141, 154	ifbothda 4123	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) /\ -. y = U. y ) -> ( ( G ` U. y ) u. if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) ) e. A )
156	134, 155	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) -> if ( y = U. y , if ( y = (/) , B , U. ( G " y ) ) , ( ( G ` U. y ) u. if ( ( ( G ` U. y ) u. { ( F ` U. y ) } ) e. A , { ( F ` U. y ) } , (/) ) ) ) e. A )
157	33, 156	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) /\ A. a e. y ( G ` a ) e. A ) ) -> ( G ` y ) e. A )
158	157	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) ) -> ( A. a e. y ( G ` a ) e. A -> ( G ` y ) e. A ) )
159	24, 158	sylbird 250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) ) -> ( A. a e. y ( a e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` a ) e. A ) -> ( G ` y ) e. A ) )
160	159	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( A. a e. y ( a e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` a ) e. A ) -> ( G ` y ) e. A ) ) )
161	160	com23 86	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. a e. y ( a e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` a ) e. A ) -> ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` y ) e. A ) ) )
162	161	a2i 14	. . . . . 6 |- ( ( ph -> A. a e. y ( a e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` a ) e. A ) ) -> ( ph -> ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` y ) e. A ) ) )
163	16, 162	sylbi 207	. . . . 5 |- ( A. a e. y ( ph -> ( a e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` a ) e. A ) ) -> ( ph -> ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` y ) e. A ) ) )
164	163	a1i 11	. . . 4 |- ( y e. On -> ( A. a e. y ( ph -> ( a e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` a ) e. A ) ) -> ( ph -> ( y e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` y ) e. A ) ) ) )
165	10, 15, 164	tfis3 7057	. . 3 |- ( C e. On -> ( ph -> ( C e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) -> ( G ` C ) e. A ) ) )
166	165	impd 447	. 2 |- ( C e. On -> ( ( ph /\ C e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) ) -> ( G ` C ) e. A ) )
167	5, 166	mpcom 38	1 |- ( ( ph /\ C e. suc ( card ` ( U. A \ B ) ) ) -> ( G ` C ) e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  recscrecs 7467   Fincfn 7955   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-card 8765

This theorem is referenced by:  ttukeylem7  9337