Theorem cvmlift2lem9 31293

Description: Lemma for cvmlift2 31298. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift2.b	|- B = U. C
cvmlift2.f	|- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
cvmlift2.g	|- ( ph -> G e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
cvmlift2.p	|- ( ph -> P e. B )
cvmlift2.i	|- ( ph -> ( F ` P ) = ( 0 G 0 ) )
cvmlift2.h	|- H = ( iota_ f e. ( II Cn C ) ( ( F o. f ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( z G 0 ) ) /\ ( f ` 0 ) = P ) )
cvmlift2.k	|- K = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( iota_ f e. ( II Cn C ) ( ( F o. f ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x G z ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( H ` x ) ) ) ` y ) )
cvmlift2lem10.s	|- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. c e. s ( A. d e. ( s \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
cvmlift2lem9.1	|- ( ph -> ( X G Y ) e. M )
cvmlift2lem9.2	|- ( ph -> T e. ( S ` M ) )
cvmlift2lem9.3	|- ( ph -> U e. II )
cvmlift2lem9.4	|- ( ph -> V e. II )
cvmlift2lem9.5	|- ( ph -> ( II ↾t U ) e. Conn )
cvmlift2lem9.6	|- ( ph -> ( II ↾t V ) e. Conn )
cvmlift2lem9.7	|- ( ph -> X e. U )
cvmlift2lem9.8	|- ( ph -> Y e. V )
cvmlift2lem9.9	|- ( ph -> ( U X. V ) C_ ( `' G " M ) )
cvmlift2lem9.10	|- ( ph -> Z e. V )
cvmlift2lem9.11	|- ( ph -> ( K |` ( U X. { Z } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( U X. { Z } ) ) Cn C ) )
cvmlift2lem9.w	|- W = ( iota_ b e. T ( X K Y ) e. b )

Assertion

Ref	Expression
cvmlift2lem9	|- ( ph -> ( K |` ( U X. V ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( U X. V ) ) Cn C ) )

Distinct variable groups:   b, c, d, f, k, s, x, y, z, F   ph, b, f, x, y, z   M, b, c, d, k, s, x, y, z   S, b, f, x, y, z   J, b, c, d, f, k, s, x, y, z   T, b, c, d, s   z, U   G, b, c, f, k, x, y, z   W, c, d   H, b, c, f, x, y, z   X, b, c, d, f, k, x, y, z   z, Z   C, b, c, d, f, k, s, x, y, z   P, f, k, x, y, z   B, b, c, d, x, y, z   Y, b, c, d, f, k, x, y, z   K, b, c, d, f, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( k, s, c, d)   B( f, k, s)   P( s, b, c, d)   S( k, s, c, d)   T( x, y, z, f, k)   U( x, y, f, k, s, b, c, d)   G( s, d)   H( k, s, d)   K( k, s)   M( f)   V( x, y, z, f, k, s, b, c, d)   W( x, y, z, f, k, s, b)   X( s)   Y( s)   Z( x, y, f, k, s, b, c, d)

Proof of Theorem cvmlift2lem9

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift2.b	. 2 |- B = U. C
2		iitop 22683	. . 3 |- II e. Top
3		iiuni 22684	. . 3 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
4	2, 2, 3, 3	txunii 21396	. 2 |- ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) = U. ( II tX II )
5		cvmlift2lem10.s	. 2 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. c e. s ( A. d e. ( s \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
6		cvmlift2.f	. 2 |- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
7		cvmlift2.g	. . 3 |- ( ph -> G e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
8		cvmlift2.p	. . 3 |- ( ph -> P e. B )
9		cvmlift2.i	. . 3 |- ( ph -> ( F ` P ) = ( 0 G 0 ) )
10		cvmlift2.h	. . 3 |- H = ( iota_ f e. ( II Cn C ) ( ( F o. f ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( z G 0 ) ) /\ ( f ` 0 ) = P ) )
11		cvmlift2.k	. . 3 |- K = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( iota_ f e. ( II Cn C ) ( ( F o. f ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x G z ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( H ` x ) ) ) ` y ) )
12	1, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cvmlift2lem5 31289	. 2 |- ( ph -> K : ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) --> B )
13	1, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cvmlift2lem7 31291	. . 3 |- ( ph -> ( F o. K ) = G )
14	13, 7	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> ( F o. K ) e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
15	2, 2	txtopi 21393	. . 3 |- ( II tX II ) e. Top
16	15	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( II tX II ) e. Top )
17		cvmlift2lem9.3	. . . . 5 |- ( ph -> U e. II )
18		elssuni 4467	. . . . . 6 |- ( U e. II -> U C_ U. II )
19	18, 3	syl6sseqr 3652	. . . . 5 |- ( U e. II -> U C_ ( 0 [,] 1 ) )
20	17, 19	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> U C_ ( 0 [,] 1 ) )
21		cvmlift2lem9.7	. . . 4 |- ( ph -> X e. U )
22	20, 21	sseldd 3604	. . 3 |- ( ph -> X e. ( 0 [,] 1 ) )
23		cvmlift2lem9.4	. . . . 5 |- ( ph -> V e. II )
24		elssuni 4467	. . . . . 6 |- ( V e. II -> V C_ U. II )
25	24, 3	syl6sseqr 3652	. . . . 5 |- ( V e. II -> V C_ ( 0 [,] 1 ) )
26	23, 25	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> V C_ ( 0 [,] 1 ) )
27		cvmlift2lem9.8	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
28	26, 27	sseldd 3604	. . 3 |- ( ph -> Y e. ( 0 [,] 1 ) )
29		opelxpi 5148	. . 3 |- ( ( X e. ( 0 [,] 1 ) /\ Y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> <. X , Y >. e. ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
30	22, 28, 29	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> <. X , Y >. e. ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
31		cvmlift2lem9.2	. 2 |- ( ph -> T e. ( S ` M ) )
32	12, 22, 28	fovrnd 6806	. . . 4 |- ( ph -> ( X K Y ) e. B )
33		fvco3 6275	. . . . . . . 8 |- ( ( K : ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) --> B /\ <. X , Y >. e. ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( F o. K ) ` <. X , Y >. ) = ( F ` ( K ` <. X , Y >. ) ) )
34	12, 30, 33	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F o. K ) ` <. X , Y >. ) = ( F ` ( K ` <. X , Y >. ) ) )
35	13	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F o. K ) ` <. X , Y >. ) = ( G ` <. X , Y >. ) )
36	34, 35	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` ( K ` <. X , Y >. ) ) = ( G ` <. X , Y >. ) )
37		df-ov 6653	. . . . . . 7 |- ( X K Y ) = ( K ` <. X , Y >. )
38	37	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( F ` ( X K Y ) ) = ( F ` ( K ` <. X , Y >. ) )
39		df-ov 6653	. . . . . 6 |- ( X G Y ) = ( G ` <. X , Y >. )
40	36, 38, 39	3eqtr4g 2681	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` ( X K Y ) ) = ( X G Y ) )
41		cvmlift2lem9.1	. . . . 5 |- ( ph -> ( X G Y ) e. M )
42	40, 41	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( X K Y ) ) e. M )
43		cvmlift2lem9.w	. . . . 5 |- W = ( iota_ b e. T ( X K Y ) e. b )
44	5, 1, 43	cvmsiota 31259	. . . 4 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ ( T e. ( S ` M ) /\ ( X K Y ) e. B /\ ( F ` ( X K Y ) ) e. M ) ) -> ( W e. T /\ ( X K Y ) e. W ) )
45	6, 31, 32, 42, 44	syl13anc 1328	. . 3 |- ( ph -> ( W e. T /\ ( X K Y ) e. W ) )
46	37	eleq1i 2692	. . . 4 |- ( ( X K Y ) e. W <-> ( K ` <. X , Y >. ) e. W )
47	46	anbi2i 730	. . 3 |- ( ( W e. T /\ ( X K Y ) e. W ) <-> ( W e. T /\ ( K ` <. X , Y >. ) e. W ) )
48	45, 47	sylib 208	. 2 |- ( ph -> ( W e. T /\ ( K ` <. X , Y >. ) e. W ) )
49		xpss12 5225	. . 3 |- ( ( U C_ ( 0 [,] 1 ) /\ V C_ ( 0 [,] 1 ) ) -> ( U X. V ) C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
50	20, 26, 49	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( U X. V ) C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
51		snidg 4206	. . . . . . 7 |- ( m e. U -> m e. { m } )
52	51	ad2antrl 764	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> m e. { m } )
53		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> n e. V )
54		ovres 6800	. . . . . 6 |- ( ( m e. { m } /\ n e. V ) -> ( m ( K |` ( { m } X. V ) ) n ) = ( m K n ) )
55	52, 53, 54	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( m ( K |` ( { m } X. V ) ) n ) = ( m K n ) )
56		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- U. ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. V ) ) = U. ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. V ) )
57	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> II e. Top )
58		snex 4908	. . . . . . . . . . 11 |- { m } e. _V
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> { m } e. _V )
60	23	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> V e. II )
61		txrest 21434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( II e. Top /\ II e. Top ) /\ ( { m } e. _V /\ V e. II ) ) -> ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. V ) ) = ( ( II ↾t { m } ) tX ( II ↾t V ) ) )
62	57, 57, 59, 60, 61	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. V ) ) = ( ( II ↾t { m } ) tX ( II ↾t V ) ) )
63		iitopon 22682	. . . . . . . . . . . 12 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
64	20	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. U ) -> m e. ( 0 [,] 1 ) )
65	64	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> m e. ( 0 [,] 1 ) )
66		restsn2 20975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ m e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( II ↾t { m } ) = ~P { m } )
67	63, 65, 66	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( II ↾t { m } ) = ~P { m } )
68		pwsn 4428	. . . . . . . . . . . 12 |- ~P { m } = { (/) , { m } }
69		indisconn 21221	. . . . . . . . . . . 12 |- { (/) , { m } } e. Conn
70	68, 69	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 |- ~P { m } e. Conn
71	67, 70	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( II ↾t { m } ) e. Conn )
72		cvmlift2lem9.6	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( II ↾t V ) e. Conn )
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( II ↾t V ) e. Conn )
74		txconn 21492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( II ↾t { m } ) e. Conn /\ ( II ↾t V ) e. Conn ) -> ( ( II ↾t { m } ) tX ( II ↾t V ) ) e. Conn )
75	71, 73, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( ( II ↾t { m } ) tX ( II ↾t V ) ) e. Conn )
76	62, 75	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. V ) ) e. Conn )
77	1, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cvmlift2lem6 31290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( K |` ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) Cn C ) )
78	65, 77	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( K |` ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) Cn C ) )
79	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> V C_ ( 0 [,] 1 ) )
80		xpss2 5229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( V C_ ( 0 [,] 1 ) -> ( { m } X. V ) C_ ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) )
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( { m } X. V ) C_ ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) )
82	65	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> { m } C_ ( 0 [,] 1 ) )
83		xpss1 5228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { m } C_ ( 0 [,] 1 ) -> ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
85	4	restuni 20966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( II tX II ) e. Top /\ ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) = U. ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) )
86	15, 84, 85	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) = U. ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) )
87	81, 86	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( { m } X. V ) C_ U. ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) )
88		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) = U. ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) )
89	88	cnrest 21089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K |` ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) Cn C ) /\ ( { m } X. V ) C_ U. ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) ) -> ( ( K |` ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) |` ( { m } X. V ) ) e. ( ( ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾t ( { m } X. V ) ) Cn C ) )
90	78, 87, 89	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( ( K |` ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) |` ( { m } X. V ) ) e. ( ( ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾t ( { m } X. V ) ) Cn C ) )
91	81	resabs1d 5428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( ( K |` ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) |` ( { m } X. V ) ) = ( K |` ( { m } X. V ) ) )
92	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( II tX II ) e. Top )
93		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 [,] 1 ) e. _V
94	58, 93	xpex 6962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) e. _V
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) e. _V )
96		restabs 20969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( II tX II ) e. Top /\ ( { m } X. V ) C_ ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) e. _V ) -> ( ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾t ( { m } X. V ) ) = ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. V ) ) )
97	92, 81, 95, 96	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾t ( { m } X. V ) ) = ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. V ) ) )
98	97	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( ( ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾t ( { m } X. V ) ) Cn C ) = ( ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. V ) ) Cn C ) )
99	90, 91, 98	3eltr3d 2715	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( K |` ( { m } X. V ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. V ) ) Cn C ) )
100		cvmtop1 31242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> C e. Top )
101	6, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. Top )
102	101	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> C e. Top )
103	1	toptopon 20722	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. Top <-> C e. (TopOn ` B ) )
104	102, 103	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> C e. (TopOn ` B ) )
105		df-ima 5127	. . . . . . . . . . 11 |- ( K " ( { m } X. V ) ) = ran ( K |` ( { m } X. V ) )
106		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> m e. U )
107	106	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> { m } C_ U )
108		xpss1 5228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { m } C_ U -> ( { m } X. V ) C_ ( U X. V ) )
109		imass2 5501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { m } X. V ) C_ ( U X. V ) -> ( K " ( { m } X. V ) ) C_ ( K " ( U X. V ) ) )
110	107, 108, 109	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( K " ( { m } X. V ) ) C_ ( K " ( U X. V ) ) )
111		cvmlift2lem9.9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( U X. V ) C_ ( `' G " M ) )
112		imaco 5640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( `' K o. `' F ) " M ) = ( `' K " ( `' F " M ) )
113		cnvco 5308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- `' ( F o. K ) = ( `' K o. `' F )
114	13	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> `' ( F o. K ) = `' G )
115	113, 114	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( `' K o. `' F ) = `' G )
116	115	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( `' K o. `' F ) " M ) = ( `' G " M ) )
117	112, 116	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( `' K " ( `' F " M ) ) = ( `' G " M ) )
118	111, 117	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( U X. V ) C_ ( `' K " ( `' F " M ) ) )
119		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K : ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) --> B -> Fun K )
120	12, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Fun K )
121		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K : ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) --> B -> dom K = ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
122	12, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom K = ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
123	50, 122	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( U X. V ) C_ dom K )
124		funimass3 6333	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun K /\ ( U X. V ) C_ dom K ) -> ( ( K " ( U X. V ) ) C_ ( `' F " M ) <-> ( U X. V ) C_ ( `' K " ( `' F " M ) ) ) )
125	120, 123, 124	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( K " ( U X. V ) ) C_ ( `' F " M ) <-> ( U X. V ) C_ ( `' K " ( `' F " M ) ) ) )
126	118, 125	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( K " ( U X. V ) ) C_ ( `' F " M ) )
127	126	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( K " ( U X. V ) ) C_ ( `' F " M ) )
128	110, 127	sstrd 3613	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( K " ( { m } X. V ) ) C_ ( `' F " M ) )
129	105, 128	syl5eqssr 3650	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ran ( K |` ( { m } X. V ) ) C_ ( `' F " M ) )
130		cnvimass 5485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F " M ) C_ dom F
131		cvmcn 31244	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> F e. ( C Cn J ) )
132	6, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F e. ( C Cn J ) )
133		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. J = U. J
134	1, 133	cnf 21050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( C Cn J ) -> F : B --> U. J )
135		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : B --> U. J -> dom F = B )
136	132, 134, 135	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom F = B )
137	130, 136	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( `' F " M ) C_ B )
138	137	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( `' F " M ) C_ B )
139		cnrest2 21090	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. (TopOn ` B ) /\ ran ( K |` ( { m } X. V ) ) C_ ( `' F " M ) /\ ( `' F " M ) C_ B ) -> ( ( K |` ( { m } X. V ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. V ) ) Cn C ) <-> ( K |` ( { m } X. V ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. V ) ) Cn ( C ↾t ( `' F " M ) ) ) ) )
140	104, 129, 138, 139	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( ( K |` ( { m } X. V ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. V ) ) Cn C ) <-> ( K |` ( { m } X. V ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. V ) ) Cn ( C ↾t ( `' F " M ) ) ) ) )
141	99, 140	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( K |` ( { m } X. V ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. V ) ) Cn ( C ↾t ( `' F " M ) ) ) )
142	5	cvmsss 31249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. ( S ` M ) -> T C_ C )
143	31, 142	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T C_ C )
144	45	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. T )
145	143, 144	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> W e. C )
146		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. T -> W C_ U. T )
147	144, 146	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W C_ U. T )
148	5	cvmsuni 31251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. ( S ` M ) -> U. T = ( `' F " M ) )
149	31, 148	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U. T = ( `' F " M ) )
150	147, 149	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> W C_ ( `' F " M ) )
151	5	cvmsrcl 31246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T e. ( S ` M ) -> M e. J )
152	31, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. J )
153		cnima 21069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( C Cn J ) /\ M e. J ) -> ( `' F " M ) e. C )
154	132, 152, 153	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( `' F " M ) e. C )
155		restopn2 20981	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. Top /\ ( `' F " M ) e. C ) -> ( W e. ( C ↾t ( `' F " M ) ) <-> ( W e. C /\ W C_ ( `' F " M ) ) ) )
156	101, 154, 155	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( W e. ( C ↾t ( `' F " M ) ) <-> ( W e. C /\ W C_ ( `' F " M ) ) ) )
157	145, 150, 156	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. ( C ↾t ( `' F " M ) ) )
158	157	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> W e. ( C ↾t ( `' F " M ) ) )
159	5	cvmscld 31255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` M ) /\ W e. T ) -> W e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " M ) ) ) )
160	6, 31, 144, 159	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " M ) ) ) )
161	160	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> W e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " M ) ) ) )
162		cvmlift2lem9.10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Z e. V )
163	162	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> Z e. V )
164		opelxpi 5148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. { m } /\ Z e. V ) -> <. m , Z >. e. ( { m } X. V ) )
165	52, 163, 164	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> <. m , Z >. e. ( { m } X. V ) )
166	81, 84	sstrd 3613	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( { m } X. V ) C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
167	4	restuni 20966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( II tX II ) e. Top /\ ( { m } X. V ) C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( { m } X. V ) = U. ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. V ) ) )
168	15, 166, 167	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( { m } X. V ) = U. ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. V ) ) )
169	165, 168	eleqtrd 2703	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> <. m , Z >. e. U. ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. V ) ) )
170		df-ov 6653	. . . . . . . . . 10 |- ( m ( K |` ( { m } X. V ) ) Z ) = ( ( K |` ( { m } X. V ) ) ` <. m , Z >. )
171		ovres 6800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. { m } /\ Z e. V ) -> ( m ( K |` ( { m } X. V ) ) Z ) = ( m K Z ) )
172	52, 163, 171	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( m ( K |` ( { m } X. V ) ) Z ) = ( m K Z ) )
173		snidg 4206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Z e. V -> Z e. { Z } )
174	162, 173	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Z e. { Z } )
175	174	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> Z e. { Z } )
176		ovres 6800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. U /\ Z e. { Z } ) -> ( m ( K |` ( U X. { Z } ) ) Z ) = ( m K Z ) )
177	106, 175, 176	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( m ( K |` ( U X. { Z } ) ) Z ) = ( m K Z ) )
178	172, 177	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( m ( K |` ( { m } X. V ) ) Z ) = ( m ( K |` ( U X. { Z } ) ) Z ) )
179	170, 178	syl5eqr 2670	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( ( K |` ( { m } X. V ) ) ` <. m , Z >. ) = ( m ( K |` ( U X. { Z } ) ) Z ) )
180		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( ( II tX II ) ↾t ( U X. { Z } ) ) = U. ( ( II tX II ) ↾t ( U X. { Z } ) )
181	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> II e. Top )
182		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { Z } e. _V
183	182	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> { Z } e. _V )
184		txrest 21434	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( II e. Top /\ II e. Top ) /\ ( U e. II /\ { Z } e. _V ) ) -> ( ( II tX II ) ↾t ( U X. { Z } ) ) = ( ( II ↾t U ) tX ( II ↾t { Z } ) ) )
185	181, 181, 17, 183, 184	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( II tX II ) ↾t ( U X. { Z } ) ) = ( ( II ↾t U ) tX ( II ↾t { Z } ) ) )
186		cvmlift2lem9.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( II ↾t U ) e. Conn )
187	26, 162	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Z e. ( 0 [,] 1 ) )
188		restsn2 20975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ Z e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( II ↾t { Z } ) = ~P { Z } )
189	63, 187, 188	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( II ↾t { Z } ) = ~P { Z } )
190		pwsn 4428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ~P { Z } = { (/) , { Z } }
191		indisconn 21221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { (/) , { Z } } e. Conn
192	190, 191	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ~P { Z } e. Conn
193	189, 192	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( II ↾t { Z } ) e. Conn )
194		txconn 21492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( II ↾t U ) e. Conn /\ ( II ↾t { Z } ) e. Conn ) -> ( ( II ↾t U ) tX ( II ↾t { Z } ) ) e. Conn )
195	186, 193, 194	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( II ↾t U ) tX ( II ↾t { Z } ) ) e. Conn )
196	185, 195	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( II tX II ) ↾t ( U X. { Z } ) ) e. Conn )
197		cvmlift2lem9.11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( K |` ( U X. { Z } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( U X. { Z } ) ) Cn C ) )
198	101, 103	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. (TopOn ` B ) )
199		df-ima 5127	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K " ( U X. { Z } ) ) = ran ( K |` ( U X. { Z } ) )
200	162	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> { Z } C_ V )
201		xpss2 5229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { Z } C_ V -> ( U X. { Z } ) C_ ( U X. V ) )
202		imass2 5501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U X. { Z } ) C_ ( U X. V ) -> ( K " ( U X. { Z } ) ) C_ ( K " ( U X. V ) ) )
203	200, 201, 202	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( K " ( U X. { Z } ) ) C_ ( K " ( U X. V ) ) )
204	203, 126	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( K " ( U X. { Z } ) ) C_ ( `' F " M ) )
205	199, 204	syl5eqssr 3650	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ran ( K |` ( U X. { Z } ) ) C_ ( `' F " M ) )
206		cnrest2 21090	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C e. (TopOn ` B ) /\ ran ( K |` ( U X. { Z } ) ) C_ ( `' F " M ) /\ ( `' F " M ) C_ B ) -> ( ( K |` ( U X. { Z } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( U X. { Z } ) ) Cn C ) <-> ( K |` ( U X. { Z } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( U X. { Z } ) ) Cn ( C ↾t ( `' F " M ) ) ) ) )
207	198, 205, 137, 206	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( K |` ( U X. { Z } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( U X. { Z } ) ) Cn C ) <-> ( K |` ( U X. { Z } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( U X. { Z } ) ) Cn ( C ↾t ( `' F " M ) ) ) ) )
208	197, 207	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( K |` ( U X. { Z } ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( U X. { Z } ) ) Cn ( C ↾t ( `' F " M ) ) ) )
209		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. U /\ Z e. { Z } ) -> <. X , Z >. e. ( U X. { Z } ) )
210	21, 174, 209	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> <. X , Z >. e. ( U X. { Z } ) )
211	187	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> { Z } C_ ( 0 [,] 1 ) )
212		xpss12 5225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U C_ ( 0 [,] 1 ) /\ { Z } C_ ( 0 [,] 1 ) ) -> ( U X. { Z } ) C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
213	20, 211, 212	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( U X. { Z } ) C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
214	4	restuni 20966	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( II tX II ) e. Top /\ ( U X. { Z } ) C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( U X. { Z } ) = U. ( ( II tX II ) ↾t ( U X. { Z } ) ) )
215	15, 213, 214	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( U X. { Z } ) = U. ( ( II tX II ) ↾t ( U X. { Z } ) ) )
216	210, 215	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> <. X , Z >. e. U. ( ( II tX II ) ↾t ( U X. { Z } ) ) )
217		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X ( K |` ( U X. { Z } ) ) Z ) = ( ( K |` ( U X. { Z } ) ) ` <. X , Z >. )
218		ovres 6800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X e. U /\ Z e. { Z } ) -> ( X ( K |` ( U X. { Z } ) ) Z ) = ( X K Z ) )
219	21, 174, 218	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( X ( K |` ( U X. { Z } ) ) Z ) = ( X K Z ) )
220		snidg 4206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( X e. U -> X e. { X } )
221	21, 220	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> X e. { X } )
222		ovres 6800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X e. { X } /\ Z e. V ) -> ( X ( K |` ( { X } X. V ) ) Z ) = ( X K Z ) )
223	221, 162, 222	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( X ( K |` ( { X } X. V ) ) Z ) = ( X K Z ) )
224	219, 223	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( X ( K |` ( U X. { Z } ) ) Z ) = ( X ( K |` ( { X } X. V ) ) Z ) )
225	217, 224	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( K |` ( U X. { Z } ) ) ` <. X , Z >. ) = ( X ( K |` ( { X } X. V ) ) Z ) )
226		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. V ) ) = U. ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. V ) )
227		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { X } e. _V
228	227	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> { X } e. _V )
229		txrest 21434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( II e. Top /\ II e. Top ) /\ ( { X } e. _V /\ V e. II ) ) -> ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. V ) ) = ( ( II ↾t { X } ) tX ( II ↾t V ) ) )
230	181, 181, 228, 23, 229	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. V ) ) = ( ( II ↾t { X } ) tX ( II ↾t V ) ) )
231		restsn2 20975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ X e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( II ↾t { X } ) = ~P { X } )
232	63, 22, 231	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( II ↾t { X } ) = ~P { X } )
233		pwsn 4428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ~P { X } = { (/) , { X } }
234		indisconn 21221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { (/) , { X } } e. Conn
235	233, 234	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ~P { X } e. Conn
236	232, 235	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( II ↾t { X } ) e. Conn )
237		txconn 21492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( II ↾t { X } ) e. Conn /\ ( II ↾t V ) e. Conn ) -> ( ( II ↾t { X } ) tX ( II ↾t V ) ) e. Conn )
238	236, 72, 237	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( II ↾t { X } ) tX ( II ↾t V ) ) e. Conn )
239	230, 238	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. V ) ) e. Conn )
240	1, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cvmlift2lem6 31290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( K |` ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) Cn C ) )
241	22, 240	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( K |` ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) Cn C ) )
242		xpss2 5229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( V C_ ( 0 [,] 1 ) -> ( { X } X. V ) C_ ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) )
243	23, 25, 242	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( { X } X. V ) C_ ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) )
244	22	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> { X } C_ ( 0 [,] 1 ) )
245		xpss1 5228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( { X } C_ ( 0 [,] 1 ) -> ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
246	244, 245	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
247	4	restuni 20966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( II tX II ) e. Top /\ ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) = U. ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) )
248	15, 246, 247	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) = U. ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) )
249	243, 248	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( { X } X. V ) C_ U. ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) )
250		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- U. ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) = U. ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) )
251	250	cnrest 21089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K |` ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) Cn C ) /\ ( { X } X. V ) C_ U. ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) ) -> ( ( K |` ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) |` ( { X } X. V ) ) e. ( ( ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾t ( { X } X. V ) ) Cn C ) )
252	241, 249, 251	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( K |` ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) |` ( { X } X. V ) ) e. ( ( ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾t ( { X } X. V ) ) Cn C ) )
253	243	resabs1d 5428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( K |` ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) |` ( { X } X. V ) ) = ( K |` ( { X } X. V ) ) )
254	227, 93	xpex 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) e. _V
255	254	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) e. _V )
256		restabs 20969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( II tX II ) e. Top /\ ( { X } X. V ) C_ ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) e. _V ) -> ( ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾t ( { X } X. V ) ) = ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. V ) ) )
257	16, 243, 255, 256	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾t ( { X } X. V ) ) = ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. V ) ) )
258	257	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. ( 0 [,] 1 ) ) ) ↾t ( { X } X. V ) ) Cn C ) = ( ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. V ) ) Cn C ) )
259	252, 253, 258	3eltr3d 2715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( K |` ( { X } X. V ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. V ) ) Cn C ) )
260		df-ima 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K " ( { X } X. V ) ) = ran ( K |` ( { X } X. V ) )
261	21	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> { X } C_ U )
262		xpss1 5228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( { X } C_ U -> ( { X } X. V ) C_ ( U X. V ) )
263		imass2 5501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( { X } X. V ) C_ ( U X. V ) -> ( K " ( { X } X. V ) ) C_ ( K " ( U X. V ) ) )
264	261, 262, 263	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( K " ( { X } X. V ) ) C_ ( K " ( U X. V ) ) )
265	264, 126	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( K " ( { X } X. V ) ) C_ ( `' F " M ) )
266	260, 265	syl5eqssr 3650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ran ( K |` ( { X } X. V ) ) C_ ( `' F " M ) )
267		cnrest2 21090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C e. (TopOn ` B ) /\ ran ( K |` ( { X } X. V ) ) C_ ( `' F " M ) /\ ( `' F " M ) C_ B ) -> ( ( K |` ( { X } X. V ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. V ) ) Cn C ) <-> ( K |` ( { X } X. V ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. V ) ) Cn ( C ↾t ( `' F " M ) ) ) ) )
268	198, 266, 137, 267	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( K |` ( { X } X. V ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. V ) ) Cn C ) <-> ( K |` ( { X } X. V ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. V ) ) Cn ( C ↾t ( `' F " M ) ) ) ) )
269	259, 268	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( K |` ( { X } X. V ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. V ) ) Cn ( C ↾t ( `' F " M ) ) ) )
270		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( X e. { X } /\ Y e. V ) -> <. X , Y >. e. ( { X } X. V ) )
271	221, 27, 270	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> <. X , Y >. e. ( { X } X. V ) )
272	261, 262	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( { X } X. V ) C_ ( U X. V ) )
273	272, 50	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( { X } X. V ) C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
274	4	restuni 20966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( II tX II ) e. Top /\ ( { X } X. V ) C_ ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( { X } X. V ) = U. ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. V ) ) )
275	15, 273, 274	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( { X } X. V ) = U. ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. V ) ) )
276	271, 275	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> <. X , Y >. e. U. ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. V ) ) )
277		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X ( K |` ( { X } X. V ) ) Y ) = ( ( K |` ( { X } X. V ) ) ` <. X , Y >. )
278		ovres 6800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( X e. { X } /\ Y e. V ) -> ( X ( K |` ( { X } X. V ) ) Y ) = ( X K Y ) )
279	221, 27, 278	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( X ( K |` ( { X } X. V ) ) Y ) = ( X K Y ) )
280	277, 279	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( K |` ( { X } X. V ) ) ` <. X , Y >. ) = ( X K Y ) )
281	45	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( X K Y ) e. W )
282	280, 281	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( K |` ( { X } X. V ) ) ` <. X , Y >. ) e. W )
283	226, 239, 269, 157, 160, 276, 282	conncn 21229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( K |` ( { X } X. V ) ) : U. ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. V ) ) --> W )
284	275	feq2d 6031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( K |` ( { X } X. V ) ) : ( { X } X. V ) --> W <-> ( K |` ( { X } X. V ) ) : U. ( ( II tX II ) ↾t ( { X } X. V ) ) --> W ) )
285	283, 284	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( K |` ( { X } X. V ) ) : ( { X } X. V ) --> W )
286	285, 221, 162	fovrnd 6806	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X ( K |` ( { X } X. V ) ) Z ) e. W )
287	225, 286	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( K |` ( U X. { Z } ) ) ` <. X , Z >. ) e. W )
288	180, 196, 208, 157, 160, 216, 287	conncn 21229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K |` ( U X. { Z } ) ) : U. ( ( II tX II ) ↾t ( U X. { Z } ) ) --> W )
289	215	feq2d 6031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( K |` ( U X. { Z } ) ) : ( U X. { Z } ) --> W <-> ( K |` ( U X. { Z } ) ) : U. ( ( II tX II ) ↾t ( U X. { Z } ) ) --> W ) )
290	288, 289	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( K |` ( U X. { Z } ) ) : ( U X. { Z } ) --> W )
291	290	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( K |` ( U X. { Z } ) ) : ( U X. { Z } ) --> W )
292	291, 106, 175	fovrnd 6806	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( m ( K |` ( U X. { Z } ) ) Z ) e. W )
293	179, 292	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( ( K |` ( { m } X. V ) ) ` <. m , Z >. ) e. W )
294	56, 76, 141, 158, 161, 169, 293	conncn 21229	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( K |` ( { m } X. V ) ) : U. ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. V ) ) --> W )
295	168	feq2d 6031	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( ( K |` ( { m } X. V ) ) : ( { m } X. V ) --> W <-> ( K |` ( { m } X. V ) ) : U. ( ( II tX II ) ↾t ( { m } X. V ) ) --> W ) )
296	294, 295	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( K |` ( { m } X. V ) ) : ( { m } X. V ) --> W )
297	296, 52, 53	fovrnd 6806	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( m ( K |` ( { m } X. V ) ) n ) e. W )
298	55, 297	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. U /\ n e. V ) ) -> ( m K n ) e. W )
299	298	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ph -> A. m e. U A. n e. V ( m K n ) e. W )
300		funimassov 6811	. . . 4 |- ( ( Fun K /\ ( U X. V ) C_ dom K ) -> ( ( K " ( U X. V ) ) C_ W <-> A. m e. U A. n e. V ( m K n ) e. W ) )
301	120, 123, 300	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( K " ( U X. V ) ) C_ W <-> A. m e. U A. n e. V ( m K n ) e. W ) )
302	299, 301	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( K " ( U X. V ) ) C_ W )
303	1, 4, 5, 6, 12, 14, 16, 30, 31, 48, 50, 302	cvmlift2lem9a 31285	1 |- ( ph -> ( K |` ( U X. V ) ) e. ( ( ( II tX II ) ↾t ( U X. V ) ) Cn C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   0cc0 9936   1c1 9937   [,]cicc 12178   ↾_t crest 16081   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820   Cn ccn 21028  Conncconn 21214   tX ctx 21363   Homeochmeo 21556   IIcii 22678   CovMap ccvm 31237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-conn 21215  df-lly 21269  df-nlly 21270  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-ii 22680  df-htpy 22769  df-phtpy 22770  df-phtpc 22791  df-pconn 31203  df-sconn 31204  df-cvm 31238

This theorem is referenced by:  cvmlift2lem10  31294