Theorem tz9.12lem3 8652

Description: Lemma for tz9.12 8653. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tz9.12lem.1	|- A e. _V
tz9.12lem.2	|- F = ( z e. _V |-> |^| { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } )

Assertion

Ref	Expression
tz9.12lem3	|- ( A. x e. A E. y e. On x e. ( R1 ` y ) -> A e. ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, v, A   x, F, y

Allowed substitution hints:   F( z, v)

Proof of Theorem tz9.12lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tz9.12lem.2	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( z e. _V |-> |^| { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } )
2	1	funmpt2 5927	. . . . . . . . . 10 |- Fun F
3		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = y -> ( R1 ` v ) = ( R1 ` y ) )
4	3	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = y -> ( x e. ( R1 ` v ) <-> x e. ( R1 ` y ) ) )
5	4	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> E. v e. On x e. ( R1 ` v ) )
6		rabn0 3958	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) <-> E. v e. On x e. ( R1 ` v ) )
7	5, 6	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) )
8		intex 4820	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) <-> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V )
9	7, 8	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V )
10		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
11		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = x -> ( z e. ( R1 ` v ) <-> x e. ( R1 ` v ) ) )
12	11	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } = { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
13	12	inteqd 4480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> |^| { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } = |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
14	13	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( |^| { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } e. _V <-> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V ) )
15	1	dmmpt 5630	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom F = { z e. _V | |^| { v e. On | z e. ( R1 ` v ) } e. _V }
16	14, 15	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. dom F <-> ( x e. _V /\ |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V ) )
17	10, 16	mpbiran 953	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. dom F <-> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V )
18	9, 17	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> x e. dom F )
19		funfvima 6492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) e. ( F " A ) ) )
20	2, 18, 19	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> ( x e. A -> ( F ` x ) e. ( F " A ) ) )
21		tz9.12lem.1	. . . . . . . . . . 11 |- A e. _V
22	21, 1	tz9.12lem2 8651	. . . . . . . . . 10 |- suc U. ( F " A ) e. On
23	21, 1	tz9.12lem1 8650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F " A ) C_ On
24		onsucuni 7028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F " A ) C_ On -> ( F " A ) C_ suc U. ( F " A ) )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " A ) C_ suc U. ( F " A )
26	25	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` x ) e. ( F " A ) -> ( F ` x ) e. suc U. ( F " A ) )
27		r1ord2 8644	. . . . . . . . . 10 |- ( suc U. ( F " A ) e. On -> ( ( F ` x ) e. suc U. ( F " A ) -> ( R1 ` ( F ` x ) ) C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) ) )
28	22, 26, 27	mpsyl 68	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` x ) e. ( F " A ) -> ( R1 ` ( F ` x ) ) C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
29	20, 28	syl6 35	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> ( x e. A -> ( R1 ` ( F ` x ) ) C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) ) )
30	29	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) /\ x e. A ) -> ( R1 ` ( F ` x ) ) C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
31	13, 1	fvmptg 6280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. _V /\ |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V ) -> ( F ` x ) = |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
32	10, 31	mpan 706	. . . . . . . . . . 11 |- ( |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. _V -> ( F ` x ) = |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
33	8, 32	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) -> ( F ` x ) = |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
34		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . 11 |- { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } C_ On
35		onint 6995	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } C_ On /\ { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) ) -> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
36	34, 35	mpan 706	. . . . . . . . . 10 |- ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) -> |^| { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } e. { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
37	33, 36	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } =/= (/) -> ( F ` x ) e. { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } )
38		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` x ) -> ( R1 ` y ) = ( R1 ` ( F ` x ) ) )
39	38	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` x ) -> ( x e. ( R1 ` y ) <-> x e. ( R1 ` ( F ` x ) ) ) )
40	4	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . 11 |- { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } = { y e. On | x e. ( R1 ` y ) }
41	39, 40	elrab2 3366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` x ) e. { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } <-> ( ( F ` x ) e. On /\ x e. ( R1 ` ( F ` x ) ) ) )
42	41	simprbi 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` x ) e. { v e. On | x e. ( R1 ` v ) } -> x e. ( R1 ` ( F ` x ) ) )
43	7, 37, 42	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) -> x e. ( R1 ` ( F ` x ) ) )
44	43	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) /\ x e. A ) -> x e. ( R1 ` ( F ` x ) ) )
45	30, 44	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. On /\ x e. ( R1 ` y ) ) /\ x e. A ) -> x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
46	45	exp31 630	. . . . 5 |- ( y e. On -> ( x e. ( R1 ` y ) -> ( x e. A -> x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) ) ) )
47	46	com3r 87	. . . 4 |- ( x e. A -> ( y e. On -> ( x e. ( R1 ` y ) -> x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) ) ) )
48	47	rexlimdv 3030	. . 3 |- ( x e. A -> ( E. y e. On x e. ( R1 ` y ) -> x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) ) )
49	48	ralimia 2950	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. On x e. ( R1 ` y ) -> A. x e. A x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
50		r1suc 8633	. . . . 5 |- ( suc U. ( F " A ) e. On -> ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) = ~P ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
51	22, 50	ax-mp 5	. . . 4 |- ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) = ~P ( R1 ` suc U. ( F " A ) )
52	51	eleq2i 2693	. . 3 |- ( A e. ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) <-> A e. ~P ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
53	21	elpw 4164	. . 3 |- ( A e. ~P ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) <-> A C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
54		dfss3 3592	. . 3 |- ( A C_ ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) <-> A. x e. A x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
55	52, 53, 54	3bitri 286	. 2 |- ( A e. ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) <-> A. x e. A x e. ( R1 ` suc U. ( F " A ) ) )
56	49, 55	sylibr 224	1 |- ( A. x e. A E. y e. On x e. ( R1 ` y ) -> A e. ( R1 ` suc suc U. ( F " A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |^|cint 4475   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   "cima 5117   Oncon0 5723   suc csuc 5725   Fun wfun 5882   ` cfv 5888   R1cr1 8625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-r1 8627

This theorem is referenced by:  tz9.12  8653