Theorem cldssbrsiga 30250

Description: A Borel Algebra contains all closed sets of its base topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cldssbrsiga	|- ( J e. Top -> ( Clsd ` J ) C_ (sigaGen ` J ) )

Proof of Theorem cldssbrsiga

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
2	1	cldss 20833	. . . . . 6 |- ( x e. ( Clsd ` J ) -> x C_ U. J )
3	2	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> x C_ U. J )
4		dfss4 3858	. . . . 5 |- ( x C_ U. J <-> ( U. J \ ( U. J \ x ) ) = x )
5	3, 4	sylib 208	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ ( U. J \ x ) ) = x )
6	1	topopn 20711	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> U. J e. J )
7	1	difopn 20838	. . . . . 6 |- ( ( U. J e. J /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ x ) e. J )
8	6, 7	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ x ) e. J )
9		id 22	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> J e. Top )
10	9	sgsiga 30205	. . . . . . 7 |- ( J e. Top -> (sigaGen ` J ) e. U. ran sigAlgebra )
11	10	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( U. J \ x ) e. J ) -> (sigaGen ` J ) e. U. ran sigAlgebra )
12		elex 3212	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> J e. _V )
13		sigagensiga 30204	. . . . . . . 8 |- ( J e. _V -> (sigaGen ` J ) e. (sigAlgebra ` U. J ) )
14		baselsiga 30178	. . . . . . . 8 |- ( (sigaGen ` J ) e. (sigAlgebra ` U. J ) -> U. J e. (sigaGen ` J ) )
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( J e. Top -> U. J e. (sigaGen ` J ) )
16	15	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( U. J \ x ) e. J ) -> U. J e. (sigaGen ` J ) )
17		elsigagen 30210	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( U. J \ x ) e. J ) -> ( U. J \ x ) e. (sigaGen ` J ) )
18		difelsiga 30196	. . . . . 6 |- ( ( (sigaGen ` J ) e. U. ran sigAlgebra /\ U. J e. (sigaGen ` J ) /\ ( U. J \ x ) e. (sigaGen ` J ) ) -> ( U. J \ ( U. J \ x ) ) e. (sigaGen ` J ) )
19	11, 16, 17, 18	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ ( U. J \ x ) e. J ) -> ( U. J \ ( U. J \ x ) ) e. (sigaGen ` J ) )
20	8, 19	syldan 487	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ ( U. J \ x ) ) e. (sigaGen ` J ) )
21	5, 20	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> x e. (sigaGen ` J ) )
22	21	ex 450	. 2 |- ( J e. Top -> ( x e. ( Clsd ` J ) -> x e. (sigaGen ` J ) ) )
23	22	ssrdv 3609	1 |- ( J e. Top -> ( Clsd ` J ) C_ (sigaGen ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   U.cuni 4436   ran crn 5115   ` cfv 5888   Topctop 20698   Clsdccld 20820  sigAlgebracsiga 30170  sigaGencsigagen 30201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-top 20699  df-cld 20823  df-siga 30171  df-sigagen 30202

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  30349  sibfinima  30401  sibfof  30402  orvccel  30524