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Theorem unxpwdom2 8493

Description: Lemma for unxpwdom 8494. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
unxpwdom2	^* $\/$

Proof of Theorem unxpwdom2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 8005	. 2
2		bren 7964	. . 3
3		ssdif0 3942	. . . . . 6 $\$
4		dmxpid 5345	. . . . . . . . . . . . . 14
5		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
6		forn 6118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
8		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
9	8	rnex 7100	. . . . . . . . . . . . . . . 16
10	7, 9	syl6eqelr 2710	. . . . . . . . . . . . . . 15
11		dmexg 7097	. . . . . . . . . . . . . . 15
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
13	4, 12	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . 13
14		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . . . 14
15		f1stres 7190	. . . . . . . . . . . . . . . 16
16		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . 16
17		fco 6058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
18	15, 16, 17	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15
19		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . 15
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
21	14, 20	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . 13
22	13, 21	ssexd 4805	. . . . . . . . . . . 12
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
24		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 $/\$
25		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . 11
26	23, 24, 25	sylc 65	. . . . . . . . . 10 $/\$
27		domwdom 8479	. . . . . . . . . 10 ^*
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ ^*
29		ffun 6048	. . . . . . . . . . . 12
30	18, 29	syl 17	. . . . . . . . . . 11
31		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . 12
32		f1odm 6141	. . . . . . . . . . . . 13
33	8	dmex 7099	. . . . . . . . . . . . 13
34	32, 33	syl6eqelr 2710	. . . . . . . . . . . 12
35		ssexg 4804	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
36	31, 34, 35	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11
37		wdomima2g 8491	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ ^*
38	30, 36, 22, 37	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ^*
39	38	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ ^*
40		wdomtr 8480	. . . . . . . . 9 ^* $/\$ ^* ^*
41	28, 39, 40	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$ ^*
42	41	orcd 407	. . . . . . 7 $/\$ ^* $\/$
43	42	ex 450	. . . . . 6 ^* $\/$
44	3, 43	syl5bir 233	. . . . 5 $\$ ^* $\/$
45		n0 3931	. . . . . 6 $\$ $\$
46		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . 13
47		ssexg 4804	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
48	46, 34, 47	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
50		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . . . . . 15
51		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $/\$
54		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$
55		df-or 385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$
56	54, 55	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . 15
57		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
58	57	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\$ $/\$
59	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
60		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
61	31, 60	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
62		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
63	59, 61, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
64		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $\$
65	64	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $\$
66	65	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $\$
67		xpss1 5228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $\$
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
70		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
71	69, 70	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
72		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
74		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
75	70, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
76	73, 75	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
77		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
79	63, 78	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
80		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
81	18, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
82	81	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
83	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
84		fnfvima 6496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
85	82, 83, 60, 84	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
86	79, 85	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\$ $/\$ $/\$
87	86	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\$ $/\$
88	58, 87	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\$ $/\$
89	88	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$
90	89	imim1d 82	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$
91	56, 90	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$
92	91	impd 447	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $/\$
93	53, 92	sylbid 230	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
94	93	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
95		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . 11
96	49, 94, 95	sylc 65	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
97		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . . . 15
98		f1of1 6136	. . . . . . . . . . . . . . 15
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
101	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
102		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . 14
103	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$
104		xpexg 6960	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
105	102, 103, 104	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
106		f1imaen2g 8017	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
107	100, 101, 68, 105, 106	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
108		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13
109		xpsnen2g 8053	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
110	108, 103, 109	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
111		entr 8008	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112	107, 110, 111	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
113		domen1 8102	. . . . . . . . . . 11
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
115	96, 114	mpbid 222	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
116	115	olcd 408	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ ^* $\/$
117	116	ex 450	. . . . . . 7 $\$ ^* $\/$
118	117	exlimdv 1861	. . . . . 6 $\$ ^* $\/$
119	45, 118	syl5bi 232	. . . . 5 $\$ ^* $\/$
120	44, 119	pm2.61dne 2880	. . . 4 ^* $\/$
121	120	exlimiv 1858	. . 3 ^* $\/$
122	2, 121	sylbi 207	. 2 ^* $\/$
123	1, 122	syl 17	1 ^* $\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wne 2794

cvv 3200 $\$ cdif 3571

cun 3572

wss 3574

c0 3915

csn 4177 class class class wbr 4653

cxp 5112

ccnv 5113

cdm 5114

crn 5115

cres 5116

cima 5117

ccom 5118

wfun 5882

wfn 5883

wf 5884

wf1 5885

wfo 5886

wf1o 5887

cfv 5888

c1st 7166

cen 7952

cdom 7953

^* cwdom 8462

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-wdom 8464

This theorem is referenced by: unxpwdom 8494 ttac 37603

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