Theorem wfrlem12 7426

Description: Lemma for well-founded recursion. Here, we compute the value of the recursive definition generator. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wfrfun.1	|- R We A
wfrfun.2	|- R Se A
wfrfun.3	|- F = wrecs ( R , A , G )

Assertion

Ref	Expression
wfrlem12	|- ( y e. dom F -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, G   y, R

Allowed substitution hint:   F( y)

Proof of Theorem wfrlem12

Dummy variables f x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . 3 |- y e. _V
2	1	eldm2 5322	. 2 |- ( y e. dom F <-> E. z <. y , z >. e. F )
3		wfrfun.3	. . . . . . 7 |- F = wrecs ( R , A , G )
4		df-wrecs 7407	. . . . . . 7 |- wrecs ( R , A , G ) = U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) }
5	3, 4	eqtri 2644	. . . . . 6 |- F = U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) }
6	5	eleq2i 2693	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. F <-> <. y , z >. e. U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } )
7		eluniab 4447	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } <-> E. f ( <. y , z >. e. f /\ E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
8	6, 7	bitri 264	. . . 4 |- ( <. y , z >. e. F <-> E. f ( <. y , z >. e. f /\ E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
9		abid 2610	. . . . . . . 8 |- ( f e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } <-> E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
10		elssuni 4467	. . . . . . . . 9 |- ( f e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } -> f C_ U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } )
11	10, 5	syl6sseqr 3652	. . . . . . . 8 |- ( f e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } -> f C_ F )
12	9, 11	sylbir 225	. . . . . . 7 |- ( E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> f C_ F )
13		fnop 5994	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f Fn x /\ <. y , z >. e. f ) -> y e. x )
14	13	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn x -> ( <. y , z >. e. f -> y e. x ) )
15		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( y e. x -> ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
16	15	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
17		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( y e. x -> Pred ( R , A , y ) C_ x ) )
18		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( f Fn x -> dom f = x )
19	18	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f Fn x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f <-> Pred ( R , A , y ) C_ x ) )
20	18	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f Fn x -> ( y e. dom f <-> y e. x ) )
21	19, 20	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f Fn x -> ( ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) <-> ( Pred ( R , A , y ) C_ x /\ y e. x ) ) )
22	21	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f Fn x -> ( ( Pred ( R , A , y ) C_ x /\ y e. x ) -> ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) )
23	22	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f Fn x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( y e. x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) ) )
24	23	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Pred ( R , A , y ) C_ x /\ f Fn x ) -> ( y e. x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) )
25		wfrfun.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- R We A
26		wfrfun.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- R Se A
27	25, 26, 3	wfrfun 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- Fun F
28		funssfv 6209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ y e. dom f ) -> ( F ` y ) = ( f ` y ) )
29	28	3adant3l 1322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( F ` y ) = ( f ` y ) )
30		fun2ssres 5931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ Pred ( R , A , y ) C_ dom f ) -> ( F |` Pred ( R , A , y ) ) = ( f |` Pred ( R , A , y ) ) )
31	30	3adant3r 1323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( F |` Pred ( R , A , y ) ) = ( f |` Pred ( R , A , y ) ) )
32	31	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
33	29, 32	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) <-> ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
34	33	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Fun F /\ f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
35	27, 34	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( f C_ F /\ ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) ) -> ( ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
36	35	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) -> ( f C_ F -> ( ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
37	36	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Pred ( R , A , y ) C_ dom f /\ y e. dom f ) -> ( ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
38	24, 37	syl6com 37	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. x -> ( ( Pred ( R , A , y ) C_ x /\ f Fn x ) -> ( ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) )
39	38	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( f Fn x -> ( ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
40	39	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. x -> ( Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f Fn x -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
41	17, 40	sylcom 30	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x -> ( y e. x -> ( ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f Fn x -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( y e. x -> ( ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f Fn x -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
43	42	com14 96	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
44	16, 43	syl7 74	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( ( y e. x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
45	44	exp4a 633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( y e. x -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) ) )
46	45	pm2.43d 53	. . . . . . . . . . 11 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
47	46	com34 91	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn x -> ( y e. x -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
48	14, 47	syldc 48	. . . . . . . . 9 |- ( <. y , z >. e. f -> ( f Fn x -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) ) ) )
49	48	3impd 1281	. . . . . . . 8 |- ( <. y , z >. e. f -> ( ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
50	49	exlimdv 1861	. . . . . . 7 |- ( <. y , z >. e. f -> ( E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( f C_ F -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
51	12, 50	mpdi 45	. . . . . 6 |- ( <. y , z >. e. f -> ( E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
52	51	imp 445	. . . . 5 |- ( ( <. y , z >. e. f /\ E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
53	52	exlimiv 1858	. . . 4 |- ( E. f ( <. y , z >. e. f /\ E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
54	8, 53	sylbi 207	. . 3 |- ( <. y , z >. e. F -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
55	54	exlimiv 1858	. 2 |- ( E. z <. y , z >. e. F -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
56	2, 55	sylbi 207	1 |- ( y e. dom F -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   C_ wss 3574   <.cop 4183   U.cuni 4436   Se wse 5071   We wwe 5072   dom cdm 5114   |` cres 5116   Predcpred 5679   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  wrecscwrecs 7406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-wrecs 7407

This theorem is referenced by:  wfrlem14  7428  wfr2a  7432