Theorem wfrlem14 7428

Description: Lemma for well-founded recursion. Compute the value of C. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
wfrlem13.1	|- R We A
wfrlem13.2	|- R Se A
wfrlem13.3	|- F = wrecs ( R , A , G )
wfrlem13.4	|- C = ( F u. { <. z , ( G ` ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. } )

Assertion

Ref	Expression
wfrlem14	|- ( z e. ( A \ dom F ) -> ( y e. ( dom F u. { z } ) -> ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   y, F, z   y, G   y, R, z   y, C

Allowed substitution hints:   C( z)   G( z)

Proof of Theorem wfrlem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfrlem13.1	. . 3 |- R We A
2		wfrlem13.2	. . 3 |- R Se A
3		wfrlem13.3	. . 3 |- F = wrecs ( R , A , G )
4		wfrlem13.4	. . 3 |- C = ( F u. { <. z , ( G ` ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. } )
5	1, 2, 3, 4	wfrlem13 7427	. 2 |- ( z e. ( A \ dom F ) -> C Fn ( dom F u. { z } ) )
6		elun 3753	. . . 4 |- ( y e. ( dom F u. { z } ) <-> ( y e. dom F \/ y e. { z } ) )
7		velsn 4193	. . . . 5 |- ( y e. { z } <-> y = z )
8	7	orbi2i 541	. . . 4 |- ( ( y e. dom F \/ y e. { z } ) <-> ( y e. dom F \/ y = z ) )
9	6, 8	bitri 264	. . 3 |- ( y e. ( dom F u. { z } ) <-> ( y e. dom F \/ y = z ) )
10	1, 2, 3	wfrlem12 7426	. . . . . . 7 |- ( y e. dom F -> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
11		fnfun 5988	. . . . . . . 8 |- ( C Fn ( dom F u. { z } ) -> Fun C )
12		ssun1 3776	. . . . . . . . . 10 |- F C_ ( F u. { <. z , ( G ` ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. } )
13	12, 4	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . 9 |- F C_ C
14		funssfv 6209	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun C /\ F C_ C /\ y e. dom F ) -> ( C ` y ) = ( F ` y ) )
15	3	wfrdmcl 7423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. dom F -> Pred ( R , A , y ) C_ dom F )
16		fun2ssres 5931	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun C /\ F C_ C /\ Pred ( R , A , y ) C_ dom F ) -> ( C |` Pred ( R , A , y ) ) = ( F |` Pred ( R , A , y ) ) )
17	15, 16	syl3an3 1361	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun C /\ F C_ C /\ y e. dom F ) -> ( C |` Pred ( R , A , y ) ) = ( F |` Pred ( R , A , y ) ) )
18	17	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun C /\ F C_ C /\ y e. dom F ) -> ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
19	14, 18	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun C /\ F C_ C /\ y e. dom F ) -> ( ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) <-> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
20	13, 19	mp3an2 1412	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun C /\ y e. dom F ) -> ( ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) <-> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
21	11, 20	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( C Fn ( dom F u. { z } ) /\ y e. dom F ) -> ( ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) <-> ( F ` y ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
22	10, 21	syl5ibr 236	. . . . . 6 |- ( ( C Fn ( dom F u. { z } ) /\ y e. dom F ) -> ( y e. dom F -> ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
23	22	ex 450	. . . . 5 |- ( C Fn ( dom F u. { z } ) -> ( y e. dom F -> ( y e. dom F -> ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
24	23	pm2.43d 53	. . . 4 |- ( C Fn ( dom F u. { z } ) -> ( y e. dom F -> ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
25		vsnid 4209	. . . . . . 7 |- z e. { z }
26		elun2 3781	. . . . . . 7 |- ( z e. { z } -> z e. ( dom F u. { z } ) )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 |- z e. ( dom F u. { z } )
28	4	reseq1i 5392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C |` Pred ( R , A , z ) ) = ( ( F u. { <. z , ( G ` ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. } ) |` Pred ( R , A , z ) )
29		resundir 5411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F u. { <. z , ( G ` ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. } ) |` Pred ( R , A , z ) ) = ( ( F |` Pred ( R , A , z ) ) u. ( { <. z , ( G ` ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. } |` Pred ( R , A , z ) ) )
30		wefr 5104	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R We A -> R Fr A )
31	1, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- R Fr A
32		predfrirr 5709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R Fr A -> -. z e. Pred ( R , A , z ) )
33		ressnop0 6420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. z e. Pred ( R , A , z ) -> ( { <. z , ( G ` ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. } |` Pred ( R , A , z ) ) = (/) )
34	31, 32, 33	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { <. z , ( G ` ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. } |` Pred ( R , A , z ) ) = (/)
35	34	uneq2i 3764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F |` Pred ( R , A , z ) ) u. ( { <. z , ( G ` ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. } |` Pred ( R , A , z ) ) ) = ( ( F |` Pred ( R , A , z ) ) u. (/) )
36		un0 3967	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F |` Pred ( R , A , z ) ) u. (/) ) = ( F |` Pred ( R , A , z ) )
37	35, 36	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F |` Pred ( R , A , z ) ) u. ( { <. z , ( G ` ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. } |` Pred ( R , A , z ) ) ) = ( F |` Pred ( R , A , z ) )
38	28, 29, 37	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C |` Pred ( R , A , z ) ) = ( F |` Pred ( R , A , z ) )
39	38	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . 11 |- ( G ` ( C |` Pred ( R , A , z ) ) ) = ( G ` ( F |` Pred ( R , A , z ) ) )
40	39	opeq2i 4406	. . . . . . . . . 10 |- <. z , ( G ` ( C |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. = <. z , ( G ` ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) >.
41		opex 4932	. . . . . . . . . . 11 |- <. z , ( G ` ( C |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. e. _V
42	41	elsn 4192	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , ( G ` ( C |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. e. { <. z , ( G ` ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. } <-> <. z , ( G ` ( C |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. = <. z , ( G ` ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. )
43	40, 42	mpbir 221	. . . . . . . . 9 |- <. z , ( G ` ( C |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. e. { <. z , ( G ` ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. }
44		elun2 3781	. . . . . . . . 9 |- ( <. z , ( G ` ( C |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. e. { <. z , ( G ` ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. } -> <. z , ( G ` ( C |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. e. ( F u. { <. z , ( G ` ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. } ) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- <. z , ( G ` ( C |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. e. ( F u. { <. z , ( G ` ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. } )
46	45, 4	eleqtrri 2700	. . . . . . 7 |- <. z , ( G ` ( C |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. e. C
47		fnopfvb 6237	. . . . . . 7 |- ( ( C Fn ( dom F u. { z } ) /\ z e. ( dom F u. { z } ) ) -> ( ( C ` z ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , z ) ) ) <-> <. z , ( G ` ( C |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. e. C ) )
48	46, 47	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( ( C Fn ( dom F u. { z } ) /\ z e. ( dom F u. { z } ) ) -> ( C ` z ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , z ) ) ) )
49	27, 48	mpan2 707	. . . . 5 |- ( C Fn ( dom F u. { z } ) -> ( C ` z ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , z ) ) ) )
50		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( C ` y ) = ( C ` z ) )
51		predeq3 5684	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> Pred ( R , A , y ) = Pred ( R , A , z ) )
52	51	reseq2d 5396	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( C |` Pred ( R , A , y ) ) = ( C |` Pred ( R , A , z ) ) )
53	52	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , z ) ) ) )
54	50, 53	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) <-> ( C ` z ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , z ) ) ) ) )
55	49, 54	syl5ibrcom 237	. . . 4 |- ( C Fn ( dom F u. { z } ) -> ( y = z -> ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
56	24, 55	jaod 395	. . 3 |- ( C Fn ( dom F u. { z } ) -> ( ( y e. dom F \/ y = z ) -> ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
57	9, 56	syl5bi 232	. 2 |- ( C Fn ( dom F u. { z } ) -> ( y e. ( dom F u. { z } ) -> ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
58	5, 57	syl 17	1 |- ( z e. ( A \ dom F ) -> ( y e. ( dom F u. { z } ) -> ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   Fr wfr 5070   Se wse 5071   We wwe 5072   dom cdm 5114   |` cres 5116   Predcpred 5679   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  wrecscwrecs 7406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-wrecs 7407

This theorem is referenced by:  wfrlem15  7429