Theorem wfrlem15 7429

Description: Lemma for well-founded recursion. When z is R minimal, C is an acceptable function. This step is where the Axiom of Replacement becomes required. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
wfrlem13.1	|- R We A
wfrlem13.2	|- R Se A
wfrlem13.3	|- F = wrecs ( R , A , G )
wfrlem13.4	|- C = ( F u. { <. z , ( G ` ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. } )

Assertion

Ref	Expression
wfrlem15	|- ( ( z e. ( A \ dom F ) /\ Pred ( R , ( A \ dom F ) , z ) = (/) ) -> C e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } )

Distinct variable groups:   A, f, x, y, z   f, F, x, y, z   f, G, x, y   R, f, x, y, z   C, f, x, y

Allowed substitution hints:   C( z)   G( z)

Proof of Theorem wfrlem15

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfrlem13.1	. . . . . 6 |- R We A
2		wfrlem13.3	. . . . . 6 |- F = wrecs ( R , A , G )
3	1, 2	wfrlem10 7424	. . . . 5 |- ( ( z e. ( A \ dom F ) /\ Pred ( R , ( A \ dom F ) , z ) = (/) ) -> Pred ( R , A , z ) = dom F )
4		eldifi 3732	. . . . . . 7 |- ( z e. ( A \ dom F ) -> z e. A )
5		wfrlem13.2	. . . . . . 7 |- R Se A
6		setlikespec 5701	. . . . . . 7 |- ( ( z e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , z ) e. _V )
7	4, 5, 6	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( z e. ( A \ dom F ) -> Pred ( R , A , z ) e. _V )
8	7	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( z e. ( A \ dom F ) /\ Pred ( R , ( A \ dom F ) , z ) = (/) ) -> Pred ( R , A , z ) e. _V )
9	3, 8	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ( z e. ( A \ dom F ) /\ Pred ( R , ( A \ dom F ) , z ) = (/) ) -> dom F e. _V )
10		snex 4908	. . . 4 |- { z } e. _V
11		unexg 6959	. . . 4 |- ( ( dom F e. _V /\ { z } e. _V ) -> ( dom F u. { z } ) e. _V )
12	9, 10, 11	sylancl 694	. . 3 |- ( ( z e. ( A \ dom F ) /\ Pred ( R , ( A \ dom F ) , z ) = (/) ) -> ( dom F u. { z } ) e. _V )
13		wfrlem13.4	. . . . . 6 |- C = ( F u. { <. z , ( G ` ( F |` Pred ( R , A , z ) ) ) >. } )
14	1, 5, 2, 13	wfrlem13 7427	. . . . 5 |- ( z e. ( A \ dom F ) -> C Fn ( dom F u. { z } ) )
15	14	adantr 481	. . . 4 |- ( ( z e. ( A \ dom F ) /\ Pred ( R , ( A \ dom F ) , z ) = (/) ) -> C Fn ( dom F u. { z } ) )
16	2	wfrdmss 7421	. . . . . . 7 |- dom F C_ A
17	4	snssd 4340	. . . . . . 7 |- ( z e. ( A \ dom F ) -> { z } C_ A )
18		unss 3787	. . . . . . . 8 |- ( ( dom F C_ A /\ { z } C_ A ) <-> ( dom F u. { z } ) C_ A )
19	18	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( ( dom F C_ A /\ { z } C_ A ) -> ( dom F u. { z } ) C_ A )
20	16, 17, 19	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( z e. ( A \ dom F ) -> ( dom F u. { z } ) C_ A )
21	20	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( z e. ( A \ dom F ) /\ Pred ( R , ( A \ dom F ) , z ) = (/) ) -> ( dom F u. { z } ) C_ A )
22		elun 3753	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( dom F u. { z } ) <-> ( y e. dom F \/ y e. { z } ) )
23		velsn 4193	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { z } <-> y = z )
24	23	orbi2i 541	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. dom F \/ y e. { z } ) <-> ( y e. dom F \/ y = z ) )
25	22, 24	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( y e. ( dom F u. { z } ) <-> ( y e. dom F \/ y = z ) )
26	2	wfrdmcl 7423	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. dom F -> Pred ( R , A , y ) C_ dom F )
27		ssun3 3778	. . . . . . . . . 10 |- ( Pred ( R , A , y ) C_ dom F -> Pred ( R , A , y ) C_ ( dom F u. { z } ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( y e. dom F -> Pred ( R , A , y ) C_ ( dom F u. { z } ) )
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ( A \ dom F ) /\ Pred ( R , ( A \ dom F ) , z ) = (/) ) -> ( y e. dom F -> Pred ( R , A , y ) C_ ( dom F u. { z } ) ) )
30		ssun1 3776	. . . . . . . . . 10 |- dom F C_ ( dom F u. { z } )
31	3, 30	syl6eqss 3655	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( A \ dom F ) /\ Pred ( R , ( A \ dom F ) , z ) = (/) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ ( dom F u. { z } ) )
32		predeq3 5684	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> Pred ( R , A , y ) = Pred ( R , A , z ) )
33	32	sseq1d 3632	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( Pred ( R , A , y ) C_ ( dom F u. { z } ) <-> Pred ( R , A , z ) C_ ( dom F u. { z } ) ) )
34	31, 33	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ( A \ dom F ) /\ Pred ( R , ( A \ dom F ) , z ) = (/) ) -> ( y = z -> Pred ( R , A , y ) C_ ( dom F u. { z } ) ) )
35	29, 34	jaod 395	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( A \ dom F ) /\ Pred ( R , ( A \ dom F ) , z ) = (/) ) -> ( ( y e. dom F \/ y = z ) -> Pred ( R , A , y ) C_ ( dom F u. { z } ) ) )
36	25, 35	syl5bi 232	. . . . . 6 |- ( ( z e. ( A \ dom F ) /\ Pred ( R , ( A \ dom F ) , z ) = (/) ) -> ( y e. ( dom F u. { z } ) -> Pred ( R , A , y ) C_ ( dom F u. { z } ) ) )
37	36	ralrimiv 2965	. . . . 5 |- ( ( z e. ( A \ dom F ) /\ Pred ( R , ( A \ dom F ) , z ) = (/) ) -> A. y e. ( dom F u. { z } ) Pred ( R , A , y ) C_ ( dom F u. { z } ) )
38	21, 37	jca 554	. . . 4 |- ( ( z e. ( A \ dom F ) /\ Pred ( R , ( A \ dom F ) , z ) = (/) ) -> ( ( dom F u. { z } ) C_ A /\ A. y e. ( dom F u. { z } ) Pred ( R , A , y ) C_ ( dom F u. { z } ) ) )
39	1, 5, 2, 13	wfrlem14 7428	. . . . . 6 |- ( z e. ( A \ dom F ) -> ( y e. ( dom F u. { z } ) -> ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
40	39	ralrimiv 2965	. . . . 5 |- ( z e. ( A \ dom F ) -> A. y e. ( dom F u. { z } ) ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
41	40	adantr 481	. . . 4 |- ( ( z e. ( A \ dom F ) /\ Pred ( R , ( A \ dom F ) , z ) = (/) ) -> A. y e. ( dom F u. { z } ) ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
42	15, 38, 41	3jca 1242	. . 3 |- ( ( z e. ( A \ dom F ) /\ Pred ( R , ( A \ dom F ) , z ) = (/) ) -> ( C Fn ( dom F u. { z } ) /\ ( ( dom F u. { z } ) C_ A /\ A. y e. ( dom F u. { z } ) Pred ( R , A , y ) C_ ( dom F u. { z } ) ) /\ A. y e. ( dom F u. { z } ) ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
43		fneq2 5980	. . . . 5 |- ( x = ( dom F u. { z } ) -> ( C Fn x <-> C Fn ( dom F u. { z } ) ) )
44		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( x = ( dom F u. { z } ) -> ( x C_ A <-> ( dom F u. { z } ) C_ A ) )
45		sseq2 3627	. . . . . . 7 |- ( x = ( dom F u. { z } ) -> ( Pred ( R , A , y ) C_ x <-> Pred ( R , A , y ) C_ ( dom F u. { z } ) ) )
46	45	raleqbi1dv 3146	. . . . . 6 |- ( x = ( dom F u. { z } ) -> ( A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x <-> A. y e. ( dom F u. { z } ) Pred ( R , A , y ) C_ ( dom F u. { z } ) ) )
47	44, 46	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( x = ( dom F u. { z } ) -> ( ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) <-> ( ( dom F u. { z } ) C_ A /\ A. y e. ( dom F u. { z } ) Pred ( R , A , y ) C_ ( dom F u. { z } ) ) ) )
48		raleq 3138	. . . . 5 |- ( x = ( dom F u. { z } ) -> ( A. y e. x ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) <-> A. y e. ( dom F u. { z } ) ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
49	43, 47, 48	3anbi123d 1399	. . . 4 |- ( x = ( dom F u. { z } ) -> ( ( C Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) <-> ( C Fn ( dom F u. { z } ) /\ ( ( dom F u. { z } ) C_ A /\ A. y e. ( dom F u. { z } ) Pred ( R , A , y ) C_ ( dom F u. { z } ) ) /\ A. y e. ( dom F u. { z } ) ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
50	49	spcegv 3294	. . 3 |- ( ( dom F u. { z } ) e. _V -> ( ( C Fn ( dom F u. { z } ) /\ ( ( dom F u. { z } ) C_ A /\ A. y e. ( dom F u. { z } ) Pred ( R , A , y ) C_ ( dom F u. { z } ) ) /\ A. y e. ( dom F u. { z } ) ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) -> E. x ( C Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
51	12, 42, 50	sylc 65	. 2 |- ( ( z e. ( A \ dom F ) /\ Pred ( R , ( A \ dom F ) , z ) = (/) ) -> E. x ( C Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
52	10, 11	mpan2 707	. . . . 5 |- ( dom F e. _V -> ( dom F u. { z } ) e. _V )
53		fnex 6481	. . . . 5 |- ( ( C Fn ( dom F u. { z } ) /\ ( dom F u. { z } ) e. _V ) -> C e. _V )
54	52, 53	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( C Fn ( dom F u. { z } ) /\ dom F e. _V ) -> C e. _V )
55	15, 9, 54	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( z e. ( A \ dom F ) /\ Pred ( R , ( A \ dom F ) , z ) = (/) ) -> C e. _V )
56		fneq1 5979	. . . . . 6 |- ( f = C -> ( f Fn x <-> C Fn x ) )
57		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( f = C -> ( f ` y ) = ( C ` y ) )
58		reseq1 5390	. . . . . . . . 9 |- ( f = C -> ( f |` Pred ( R , A , y ) ) = ( C |` Pred ( R , A , y ) ) )
59	58	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( f = C -> ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) )
60	57, 59	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( f = C -> ( ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) <-> ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
61	60	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( f = C -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) <-> A. y e. x ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) )
62	56, 61	3anbi13d 1401	. . . . 5 |- ( f = C -> ( ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) <-> ( C Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
63	62	exbidv 1850	. . . 4 |- ( f = C -> ( E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) <-> E. x ( C Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
64	63	elabg 3351	. . 3 |- ( C e. _V -> ( C e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } <-> E. x ( C Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
65	55, 64	syl 17	. 2 |- ( ( z e. ( A \ dom F ) /\ Pred ( R , ( A \ dom F ) , z ) = (/) ) -> ( C e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } <-> E. x ( C Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( C ` y ) = ( G ` ( C |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) ) )
66	51, 65	mpbird 247	1 |- ( ( z e. ( A \ dom F ) /\ Pred ( R , ( A \ dom F ) , z ) = (/) ) -> C e. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ A /\ A. y e. x Pred ( R , A , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` Pred ( R , A , y ) ) ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   Se wse 5071   We wwe 5072   dom cdm 5114   |` cres 5116   Predcpred 5679   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  wrecscwrecs 7406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-wrecs 7407

This theorem is referenced by:  wfrlem16  7430