xmulneg1 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > xmulneg1		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem xmulneg1 12099

Description: Extended real version of mulneg1 10466. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
xmulneg1	$/\$

**Proof of Theorem xmulneg1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		xneg0 12043	. . . . . . . . 9
2	1	eqeq2i 2634	. . . . . . . 8
3		0xr 10086	. . . . . . . . 9
4		xneg11 12046	. . . . . . . . 9 $/\$
5	3, 4	mpan2 707	. . . . . . . 8
6	2, 5	syl5bbr 274	. . . . . . 7
7	6	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
8	7	orbi1d 739	. . . . 5 $/\$ $\/$ $\/$
9	8	ifbid 4108	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
10		xnegpnf 12040	. . . . . . . . . . . . . 14
11	10	eqeq2i 2634	. . . . . . . . . . . . 13
12		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$
13		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . 14
14		xneg11 12046	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
15	12, 13, 14	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
16	11, 15	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
17	16	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
18		xnegmnf 12041	. . . . . . . . . . . . . 14
19	18	eqeq2i 2634	. . . . . . . . . . . . 13
20		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . 14
21		xneg11 12046	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
22	12, 20, 21	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
23	19, 22	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
24	23	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
25	17, 24	orbi12d 746	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
26		xlt0neg1 12050	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	26	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$
28	27	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
29	28	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
30		xlt0neg2 12051	. . . . . . . . . . . . . . 15
31	30	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$
32	31	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
33	32	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
34	29, 33	orbi12d 746	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
35		orcom 402	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
36	34, 35	syl6bb 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
37	25, 36	orbi12d 746	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
38	37	biimpar 502	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
39	38	iftrued 4094	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
40		xmullem2 12095	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
42	23	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
43	16	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
44	42, 43	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
45	28	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
46	32	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
47	45, 46	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
48		orcom 402	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
49	47, 48	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
50	44, 49	orbi12d 746	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
51	50	notbid 308	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
52	41, 51	sylibrd 249	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
53	52	imp 445	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
54	53	iffalsed 4097	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
55		iftrue 4092	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
56	55	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
57		xnegeq 12038	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
59	58, 10	syl6eq 2672	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
60	39, 54, 59	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
61	50	biimpar 502	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
62	61	iftrued 4094	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
63	41	con2d 129	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
64	63	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
65	64	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
66		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
68	65, 67	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
69		xnegeq 12038	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
71	70, 18	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
72	62, 71	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
73	72	adantlr 751	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
74	37	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
75	74	biimpar 502	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
76	75	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
77	76	iffalsed 4097	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
78	51	biimpar 502	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
79	78	adantlr 751	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
80	79	iffalsed 4097	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
81		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
82	81	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
83		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
84	83	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
85	82, 84	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
86		xnegeq 12038	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
88		xmullem 12094	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
89	88	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
90		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
91		orcom 402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$ $\/$
92	91	notbii 310	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$ $\/$
93	90, 92	anbi12i 733	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
94		orcom 402	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
95	94	notbii 310	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
96	93, 95	anbi12i 733	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
97		orcom 402	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
98	97	notbii 310	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
99		xmullem 12094	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
100	96, 98, 99	syl2anb 496	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
101	100	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
102	89, 101	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
103		rexneg 12042	. . . . . . . . . . . 12
104	88, 103	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
105	104	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
106	88, 100	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
107		rexneg 12042	. . . . . . . . . . 11
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
109	102, 105, 108	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
110	87, 109	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
111	77, 80, 110	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
112	73, 111	pm2.61dan 832	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
113	60, 112	pm2.61dan 832	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
114	113	ifeq2da 4117	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
115	9, 114	eqtrd 2656	. . 3 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
116		xnegeq 12038	. . . . 5 $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
117	116, 1	syl6eq 2672	. . . 4 $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
118		xnegeq 12038	. . . 4 $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
119	117, 118	ifsb 4099	. . 3 $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
120	115, 119	syl6eqr 2674	. 2 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
121		xnegcl 12044	. . 3
122		xmulval 12056	. . 3 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
123	121, 122	sylan 488	. 2 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
124		xmulval 12056	. . 3 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
125		xnegeq 12038	. . 3 $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
126	124, 125	syl 17	. 2 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
127	120, 123, 126	3eqtr4d 2666	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

cif 4086 class class class wbr 4653 (class class class)co 6650

cr 9935

cc0 9936

cmul 9941

cpnf 10071

cmnf 10072

cxr 10073

clt 10074

cneg 10267

cxne 11943

cxmu 11945

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-po 5035 df-so 5036 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-xneg 11946 df-xmul 11948

This theorem is referenced by: xmulneg2 12100 xmulpnf1n 12108 xmulm1 12111 xmulass 12117 xadddi 12125 xadddi2 12127 xrsmulgzz 29678

W3C validator