carsgclctunlem2 - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem carsgclctunlem2 30381

Description: Lemma for carsgclctun 30383. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
carsgval.1
carsgval.2
carsgsiga.1
carsgsiga.2	$/\$ $/\$ Σ^*
carsgsiga.3	$/\$ $/\$
carsgclctunlem2.1	Disj
carsgclctunlem2.2	$/\$ toCaraSiga
carsgclctunlem2.3
carsgclctunlem2.4

**Assertion**
Ref	Expression
carsgclctunlem2	$\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem carsgclctunlem2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunin2 4584	. . . . 5
2	1	fveq2i 6194	. . . 4
3		iccssxr 12256	. . . . 5
4		carsgval.2	. . . . . 6
5		nnex 11026	. . . . . . . 8
6	5	a1i 11	. . . . . . 7
7		carsgclctunlem2.3	. . . . . . . . 9
8	7	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
9	8	elpwincl1 29357	. . . . . . 7 $/\$
10	6, 9	elpwiuncl 29359	. . . . . 6
11	4, 10	ffvelrnd 6360	. . . . 5
12	3, 11	sseldi 3601	. . . 4
13	2, 12	syl5eqelr 2706	. . 3
14	4, 7	ffvelrnd 6360	. . . . 5
15	3, 14	sseldi 3601	. . . 4
16	7	elpwdifcl 29358	. . . . . . 7 $\$
17	4, 16	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 $\$
18	3, 17	sseldi 3601	. . . . 5 $\$
19	18	xnegcld 12130	. . . 4 $\$
20	15, 19	xaddcld 12131	. . 3 $\$
21	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
22	21, 9	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 $/\$
23	22	ralrimiva 2966	. . . . . . 7
24		nfcv 2764	. . . . . . . 8
25	24	esumcl 30092	. . . . . . 7 $/\$ Σ^*
26	6, 23, 25	syl2anc 693	. . . . . 6 Σ^*
27	3, 26	sseldi 3601	. . . . 5 Σ^*
28	9	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9
29		dfiun3g 5378	. . . . . . . . 9
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8
31	30	fveq2d 6195	. . . . . . 7
32		nnct 12780	. . . . . . . . . 10
33		mptct 9360	. . . . . . . . . 10
34		rnct 9347	. . . . . . . . . 10
35	32, 33, 34	mp2b 10	. . . . . . . . 9
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8
37		eqid 2622	. . . . . . . . . 10
38	37	rnmptss 6392	. . . . . . . . 9
39	28, 38	syl 17	. . . . . . . 8
40		mptexg 6484	. . . . . . . . . 10
41		rnexg 7098	. . . . . . . . . 10
42	5, 40, 41	mp2b 10	. . . . . . . . 9
43		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12
44		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . 12
45	43, 44	3anbi23d 1402	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . 13
47	46	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12
48		esumeq1 30096	. . . . . . . . . . . 12 Σ^* Σ^*
49	47, 48	breq12d 4666	. . . . . . . . . . 11 Σ^* Σ^*
50	45, 49	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ Σ^* $/\$ $/\$ Σ^*
51		carsgsiga.2	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ Σ^*
52	50, 51	vtoclg 3266	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ Σ^*
53	42, 52	ax-mp 5	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ Σ^*
54	36, 39, 53	mpd3an23 1426	. . . . . . 7 Σ^*
55	31, 54	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 Σ^*
56		fveq2 6191	. . . . . . 7
57		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
58	57	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
59		carsgsiga.1	. . . . . . . . 9
60	59	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
61	58, 60	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
62		carsgclctunlem2.1	. . . . . . . . 9 Disj
63		disjin 29399	. . . . . . . . 9 Disj Disj
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . 8 Disj
65		incom 3805	. . . . . . . . . 10
66	65	rgenw 2924	. . . . . . . . 9
67		disjeq2 4624	. . . . . . . . 9 Disj Disj
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . 8 Disj Disj
69	64, 68	sylib 208	. . . . . . 7 Disj
70	56, 6, 22, 9, 61, 69	esumrnmpt2 30130	. . . . . 6 Σ^* Σ^*
71	55, 70	breqtrd 4679	. . . . 5 Σ^*
72		carsgval.1	. . . . . . . 8
73		difssd 3738	. . . . . . . 8 $\$
74		carsgsiga.3	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
75	72, 4, 73, 7, 74	carsgmon 30376	. . . . . . 7 $\$
76	14, 17, 75	xrge0subcld 29528	. . . . . 6 $\$
77	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
78	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79	78	elpwincl1 29357	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	77, 79	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81	3, 80	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 $/\$
82		xrge0neqmnf 12276	. . . . . . . . . . 11
83	80, 82	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
84	78	elpwdifcl 29358	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
85	77, 84	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
86	3, 85	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
87		xrge0neqmnf 12276	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$
88	85, 87	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
89	86	xnegcld 12130	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
90		xnegneg 12045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$ $\$
91	86, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$ $\$
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
93		xnegeq 12038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$
94	93	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $\$
95		xnegmnf 12041	. . . . . . . . . . . . . . . 16
96	94, 95	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$ $\$
97	92, 96	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$ $\$
98	97	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$ $\$
99		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
100		fz1ssnn 12372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
102	101	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
103		carsgclctunlem2.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ toCaraSiga
104	99, 102, 103	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ toCaraSiga
105	104	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ toCaraSiga
106		dfiun3g 5378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 toCaraSiga
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
108	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
109	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
110	51	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ Σ^*
111		fzfi 12771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
112		mptfi 8265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
113		rnfi 8249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
114	111, 112, 113	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
116		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
117	116	rnmptss 6392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 toCaraSiga toCaraSiga
118	105, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ toCaraSiga
119	108, 77, 109, 110, 115, 118	fiunelcarsg 30378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ toCaraSiga
120	107, 119	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ toCaraSiga
121	108, 77	elcarsg 30367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ toCaraSiga $/\$ $\$
122	120, 121	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$
123	122	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$
124		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125	124	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
126		difeq1 3721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $\$
127	126	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $\$
128	125, 127	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$
129		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
130	128, 129	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$
131	130	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
132	78, 123, 131	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$
133	132	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$ $\$
134		xaddpnf1 12057	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
135	81, 83, 134	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
136	135	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$
137	98, 133, 136	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$
138		carsgclctunlem2.4	. . . . . . . . . . . . . 14
139	138	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$
140	139	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$
141	137, 140	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
142	141	neqned 2801	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
143		xaddass 12079	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
144	81, 83, 86, 88, 89, 142, 143	syl222anc 1342	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
145		xnegid 12069	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$ $\$
146	86, 145	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $\$
147	146	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $\$
148		xaddid1 12072	. . . . . . . . . 10
149	81, 148	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
150	144, 147, 149	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $\$
151	132	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $\$ $\$
152	107	ineq2d 3814	. . . . . . . . . 10 $/\$
153	152	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 $/\$
154		mptss 5454	. . . . . . . . . . . . 13
155		rnss 5354	. . . . . . . . . . . . 13
156	100, 154, 155	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$
158		disjrnmpt 29398	. . . . . . . . . . . . 13 Disj Disj
159	62, 158	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 Disj
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Disj
161		disjss1 4626	. . . . . . . . . . 11 Disj Disj
162	157, 160, 161	sylc 65	. . . . . . . . . 10 $/\$ Disj
163	108, 77, 109, 110, 115, 118, 162, 78	carsgclctunlem1 30379	. . . . . . . . 9 $/\$ Σ^*
164		ineq2 3808	. . . . . . . . . . 11
165	164	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10
166	111	elexi 3213	. . . . . . . . . . 11
167	166	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$
168	99, 102, 22	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
169		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . 15
170		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . 15
171	169, 170	mpbii 223	. . . . . . . . . . . . . 14
172		ss0 3974	. . . . . . . . . . . . . 14
173	171, 172	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
174	173	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
175	174	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
176	109	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
177	175, 176	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
178	62	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Disj
179		disjss1 4626	. . . . . . . . . . 11 Disj Disj
180	101, 178, 179	sylc 65	. . . . . . . . . 10 $/\$ Disj
181	165, 167, 168, 104, 177, 180	esumrnmpt2 30130	. . . . . . . . 9 $/\$ Σ^* Σ^*
182	153, 163, 181	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 $/\$ Σ^*
183	150, 151, 182	3eqtr3rd 2665	. . . . . . 7 $/\$ Σ^* $\$
184	17	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
185	3, 184	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
186	185	xnegcld 12130	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
187	15	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
188		iunss1 4532	. . . . . . . . . . . 12
189	100, 188	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 $/\$
190	189	sscond 3747	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $\$
191	74	3adant1r 1319	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
192	108, 77, 190, 84, 191	carsgmon 30376	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $\$
193		xleneg 12049	. . . . . . . . . 10 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
194	193	biimpa 501	. . . . . . . . 9 $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
195	185, 86, 192, 194	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $\$
196		xleadd2a 12084	. . . . . . . 8 $\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
197	89, 186, 187, 195, 196	syl31anc 1329	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $\$
198	183, 197	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 $/\$ Σ^* $\$
199	76, 22, 198	esumgect 30152	. . . . 5 Σ^* $\$
200	12, 27, 20, 71, 199	xrletrd 11993	. . . 4 $\$
201	2, 200	syl5eqbrr 4689	. . 3 $\$
202		xleadd1a 12083	. . 3 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
203	13, 20, 18, 201, 202	syl31anc 1329	. 2 $\$ $\$ $\$
204		xrge0npcan 29694	. . 3 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
205	14, 17, 75, 204	syl3anc 1326	. 2 $\$ $\$
206	203, 205	breqtrd 4679	1 $\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

cvv 3200 $\$ cdif 3571

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cpw 4158

cuni 4436

ciun 4520 Disj wdisj 4620 class class class wbr 4653

cmpt 4729

crn 5115

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

com 7065

cdom 7953

cfn 7955

cc0 9936

c1 9937

cpnf 10071

cmnf 10072

cxr 10073

cle 10075

cn 11020

cxne 11943

cxad 11944

cicc 12178

cfz 12326 Σ^*cesum 30089 toCaraSigaccarsg 30363

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-ac2 9285 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-acn 8768 df-ac 8939 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-ordt 16161 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-ps 17200 df-tsr 17201 df-plusf 17241 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-mhm 17335 df-submnd 17336 df-grp 17425 df-minusg 17426 df-sbg 17427 df-mulg 17541 df-subg 17591 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-abl 18196 df-mgp 18490 df-ur 18502 df-ring 18549 df-cring 18550 df-subrg 18778 df-abv 18817 df-lmod 18865 df-scaf 18866 df-sra 19172 df-rgmod 19173 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-tmd 21876 df-tgp 21877 df-tsms 21930 df-trg 21963 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-nm 22387 df-ngp 22388 df-nrg 22390 df-nlm 22391 df-ii 22680 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-esum 30090 df-carsg 30364

This theorem is referenced by: carsgclctunlem3 30382

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