Theorem zorn2g 9325

Description: Zorn's Lemma of [Monk1] p. 117. This version of zorn2 9328 avoids the Axiom of Choice by assuming that A is well-orderable. (Contributed by NM, 6-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zorn2g	|- ( ( A e. dom card /\ R Po A /\ A. w ( ( w C_ A /\ R Or w ) -> E. x e. A A. z e. w ( z R x \/ z = x ) ) ) -> E. x e. A A. y e. A -. x R y )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, R   x, A, y, z, w

Proof of Theorem zorn2g

Dummy variables v u g h t s r q d k m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( g = k -> ( g q n <-> k q n ) )
2	1	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( g = k -> ( -. g q n <-> -. k q n ) )
3	2	cbvralv 3171	. . . . . . 7 |- ( A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n <-> A. k e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. k q n )
4		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( k q n <-> k q m ) )
5	4	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( -. k q n <-> -. k q m ) )
6	5	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( A. k e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. k q n <-> A. k e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. k q m ) )
7	3, 6	syl5bb 272	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n <-> A. k e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. k q m ) )
8	7	cbvriotav 6622	. . . . 5 |- ( iota_ n e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n ) = ( iota_ m e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. k e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. k q m )
9		rneq 5351	. . . . . . . 8 |- ( h = d -> ran h = ran d )
10	9	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( h = d -> ( A. q e. ran h q R v <-> A. q e. ran d q R v ) )
11	10	rabbidv 3189	. . . . . 6 |- ( h = d -> { v e. A | A. q e. ran h q R v } = { v e. A | A. q e. ran d q R v } )
12	11	raleqdv 3144	. . . . . 6 |- ( h = d -> ( A. k e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. k q m <-> A. k e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } -. k q m ) )
13	11, 12	riotaeqbidv 6614	. . . . 5 |- ( h = d -> ( iota_ m e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. k e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. k q m ) = ( iota_ m e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } A. k e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } -. k q m ) )
14	8, 13	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( h = d -> ( iota_ n e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n ) = ( iota_ m e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } A. k e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } -. k q m ) )
15	14	cbvmptv 4750	. . 3 |- ( h e. _V |-> ( iota_ n e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n ) ) = ( d e. _V |-> ( iota_ m e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } A. k e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } -. k q m ) )
16		recseq 7470	. . 3 |- ( ( h e. _V |-> ( iota_ n e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n ) ) = ( d e. _V |-> ( iota_ m e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } A. k e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } -. k q m ) ) -> recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ n e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n ) ) ) = recs ( ( d e. _V |-> ( iota_ m e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } A. k e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } -. k q m ) ) ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. 2 |- recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ n e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n ) ) ) = recs ( ( d e. _V |-> ( iota_ m e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } A. k e. { v e. A | A. q e. ran d q R v } -. k q m ) ) )
18		breq1 4656	. . . . 5 |- ( q = s -> ( q R v <-> s R v ) )
19	18	cbvralv 3171	. . . 4 |- ( A. q e. ran d q R v <-> A. s e. ran d s R v )
20		breq2 4657	. . . . 5 |- ( v = r -> ( s R v <-> s R r ) )
21	20	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( v = r -> ( A. s e. ran d s R v <-> A. s e. ran d s R r ) )
22	19, 21	syl5bb 272	. . 3 |- ( v = r -> ( A. q e. ran d q R v <-> A. s e. ran d s R r ) )
23	22	cbvrabv 3199	. 2 |- { v e. A | A. q e. ran d q R v } = { r e. A | A. s e. ran d s R r }
24		eqid 2622	. 2 |- { r e. A | A. s e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ n e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n ) ) ) " u ) s R r } = { r e. A | A. s e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ n e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n ) ) ) " u ) s R r }
25		eqid 2622	. 2 |- { r e. A | A. s e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ n e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n ) ) ) " t ) s R r } = { r e. A | A. s e. (recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ n e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } A. g e. { v e. A | A. q e. ran h q R v } -. g q n ) ) ) " t ) s R r }
26	17, 23, 24, 25	zorn2lem7 9324	1 |- ( ( A e. dom card /\ R Po A /\ A. w ( ( w C_ A /\ R Or w ) -> E. x e. A A. z e. w ( z R x \/ z = x ) ) ) -> E. x e. A A. y e. A -. x R y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Po wpo 5033   Or wor 5034   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   iota_crio 6610  recscrecs 7467   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-en 7956  df-card 8765

This theorem is referenced by:  zorng  9326  zorn2  9328