Theorem 0nodd 41810

Description: 0 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
oddinmgm.e	⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}

Assertion

Ref	Expression
0nodd	⊢ 0 ∉ 𝑂

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 0nodd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnz 11455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) = -𝑥 → ((1 / 2) ∈ ℤ ↔ -𝑥 ∈ ℤ))
3	1, 2	mtbii 316	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) = -𝑥 → ¬ -𝑥 ∈ ℤ)
4		znegcl 11412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5	3, 4	nsyl3 133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (1 / 2) = -𝑥)
6		eqcom 2629	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑥 = (1 / 2) ↔ (1 / 2) = -𝑥)
7	5, 6	sylnibr 319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ -𝑥 = (1 / 2))
8		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		2cn 11091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
11		divneg 10719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
12	11	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (-1 / 2) = -(1 / 2))
13	8, 9, 10, 12	mp3an 1424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1 / 2) = -(1 / 2)
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (-1 / 2) = -(1 / 2))
15	14	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -(1 / 2) = 𝑥))
16		halfcn 11247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
18		zcn 11382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
19	17, 18	negcon1d 10386	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (-(1 / 2) = 𝑥 ↔ -𝑥 = (1 / 2)))
20	15, 19	bitrd 268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -𝑥 = (1 / 2)))
21	7, 20	mtbird 315	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (-1 / 2) = 𝑥)
22		neg1cn 11124	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
24		2cnd 11093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
25	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
26	23, 18, 24, 25	divmul2d 10834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((-1 / 2) = 𝑥 ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
27	21, 26	mtbid 314	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ -1 = (2 · 𝑥))
28		eqcom 2629	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0)
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0))
30		0cnd 10033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 0 ∈ ℂ)
31		1cnd 10056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
32	24, 18	mulcld 10060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
33		subadd2 10285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → ((0 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 0))
34	33	bicomd 213	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 0 ↔ (0 − 1) = (2 · 𝑥)))
35	30, 31, 32, 34	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 0 ↔ (0 − 1) = (2 · 𝑥)))
36		df-neg 10269	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 = (0 − 1)
37	36	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 − 1) = -1
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 − 1) = -1)
39	38	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((0 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
40	29, 35, 39	3bitrd 294	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ -1 = (2 · 𝑥)))
41	27, 40	mtbird 315	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 0 = ((2 · 𝑥) + 1))
42	41	nrex 3000	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)
43	42	intnan 960	. . 3 ⊢ ¬ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1))
44		eqeq1 2626	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
45	44	rexbidv 3052	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
46		oddinmgm.e	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
47	45, 46	elrab2 3366	. . 3 ⊢ (0 ∈ 𝑂 ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = ((2 · 𝑥) + 1)))
48	43, 47	mtbir 313	. 2 ⊢ ¬ 0 ∈ 𝑂
49	48	nelir 2900	1 ⊢ 0 ∉ 𝑂

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ∉ wnel 2897  ∃wrex 2913  {crab 2916  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  2c2 11070  ℤcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by: (None)