Theorem 7gbow 41660

Description: 7 is a weak odd Goldbach number. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
7gbow	⊢ 7 ∈ GoldbachOddW

Proof of Theorem 7gbow

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7odd 41621	. 2 ⊢ 7 ∈ Odd
2		2prm 15405	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℙ
3		3prm 15406	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℙ
4		gbpart7 41655	. . . 4 ⊢ 7 = ((2 + 2) + 3)
5		oveq2 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 3 → ((2 + 2) + 𝑟) = ((2 + 2) + 3))
6	5	eqeq2d 2632	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 3 → (7 = ((2 + 2) + 𝑟) ↔ 7 = ((2 + 2) + 3)))
7	6	rspcev 3309	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 7 = ((2 + 2) + 3)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 2) + 𝑟))
8	3, 4, 7	mp2an 708	. . 3 ⊢ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 2) + 𝑟)
9		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 2 → (𝑝 + 𝑞) = (2 + 𝑞))
10	9	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 2 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((2 + 𝑞) + 𝑟))
11	10	eqeq2d 2632	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 2 → (7 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 7 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
12	11	rexbidv 3052	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 2 → (∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
13		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 2 → (2 + 𝑞) = (2 + 2))
14	13	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 2 → ((2 + 𝑞) + 𝑟) = ((2 + 2) + 𝑟))
15	14	eqeq2d 2632	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 2 → (7 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 7 = ((2 + 2) + 𝑟)))
16	15	rexbidv 3052	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 2 → (∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 2) + 𝑟)))
17	12, 16	rspc2ev 3324	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 2) + 𝑟)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
18	2, 2, 8, 17	mp3an 1424	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)
19		isgbow 41640	. 2 ⊢ (7 ∈ GoldbachOddW ↔ (7 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
20	1, 18, 19	mpbir2an 955	1 ⊢ 7 ∈ GoldbachOddW

Syntax hints:   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∃wrex 2913  (class class class)co 6650   + caddc 9939  2c2 11070  3c3 11071  7c7 11075  ℙcprime 15385   Odd codd 41538   GoldbachOddW cgbow 41634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-even 41539  df-odd 41540  df-gbow 41637

This theorem is referenced by:  stgoldbwt  41664  sbgoldbwt  41665