Theorem abvn0b 19302

Description: Another characterization of domains, hinted at in abvtriv 18841: a nonzero ring is a domain iff it has an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
abvn0b.b	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvn0b	⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem abvn0b

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 19295	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		abvn0b.b	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
3		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ if(𝑥 = (0g‘𝑅), 0, 1)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ if(𝑥 = (0g‘𝑅), 0, 1))
6		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		domnring 19296	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
8	3, 6, 4	domnmuln0 19298	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ (0g‘𝑅))
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	abvtrivd 18840	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ if(𝑥 = (0g‘𝑅), 0, 1)) ∈ 𝐴)
10		ne0i 3921	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ if(𝑥 = (0g‘𝑅), 0, 1)) ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝐴 ≠ ∅)
12	1, 11	jca 554	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅))
13		n0 3931	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
14		neanior 2886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ≠ (0g‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅)) ↔ ¬ (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅)))
15		an4 865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑦 ≠ (0g‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) ↔ ((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))))
16	2, 3, 4, 6	abvdom 18838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ (0g‘𝑅))
17	16	3expib 1268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ (0g‘𝑅)))
18	15, 17	syl5bi 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑦 ≠ (0g‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ (0g‘𝑅)))
19	18	expdimp 453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦 ≠ (0g‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ (0g‘𝑅)))
20	14, 19	syl5bir 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (¬ (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ (0g‘𝑅)))
21	20	necon4bd 2814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅))))
22	21	ralrimivva 2971	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅))))
23	22	exlimiv 1858	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅))))
24	13, 23	sylbi 207	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅))))
25	24	anim2i 593	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅)))))
26	3, 6, 4	isdomn 19294	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅)))))
27	25, 26	sylibr 224	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Domn)
28	12, 27	impbii 199	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∅c0 3915  ifcif 4086   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942  0_gc0g 16100  AbsValcabv 18816  NzRingcnzr 19257  Domncdomn 19280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ico 12181  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-abv 18817  df-nzr 19258  df-domn 19284

This theorem is referenced by:  nrgdomn  22475