Theorem assa2ass 19322

Description: Left- and right-associative property of an associative algebra. Notice that the scalars are commuted! (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
assa2ass.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assa2ass.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assa2ass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assa2ass.m	⊢ ∗ = (.r‘𝐹)
assa2ass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assa2ass.t	⊢ × = (.r‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
assa2ass	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem assa2ass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
2		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
3	2	3ad2ant2 1083	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
4		assalmod 19319	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
5		simpl 473	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
6		simpl 473	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		assa2ass.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		assa2ass.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9		assa2ass.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		assa2ass.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
11	7, 8, 9, 10	lmodvscl 18880	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
12	4, 5, 6, 11	syl3an 1368	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
13		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
14	13	3ad2ant3 1084	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
15		assa2ass.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑊)
16	7, 8, 10, 9, 15	assaassr 19318	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)))
17	1, 3, 12, 14, 16	syl13anc 1328	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)))
18	7, 8, 10, 9, 15	assaass 19317	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)))
19	18	eqcomd 2628	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)) = ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌))
20	1, 3, 12, 14, 19	syl13anc 1328	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐶 · ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌)) = ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌))
21	4	3ad2ant1 1082	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
22	5	3ad2ant2 1083	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
23	6	3ad2ant3 1084	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		assa2ass.m	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (.r‘𝐹)
25	7, 8, 9, 10, 24	lmodvsass 18888	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) = (𝐶 · (𝐴 · 𝑋)))
26	25	eqcomd 2628	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋))
27	26	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = (((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) × 𝑌))
28	21, 3, 22, 23, 27	syl13anc 1328	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = (((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) × 𝑌))
29	8	assasca 19321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ CRing)
30		crngring 18558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝐹 ∈ Ring)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
32	31	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ Ring)
33	2	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
34	5	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
35	10, 24	ringcl 18561	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∗ 𝐴) ∈ 𝐵)
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝐶 ∗ 𝐴) ∈ 𝐵)
37	36	3adant3 1081	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐶 ∗ 𝐴) ∈ 𝐵)
38	7, 8, 10, 9, 15	assaass 19317	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ((𝐶 ∗ 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
39	1, 37, 23, 14, 38	syl13anc 1328	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝐶 ∗ 𝐴) · 𝑋) × 𝑌) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
40	28, 39	eqtrd 2656	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐶 · (𝐴 · 𝑋)) × 𝑌) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))
41	17, 20, 40	3eqtrd 2660	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐶 ∗ 𝐴) · (𝑋 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  Ringcrg 18547  CRingccrg 18548  LModclmod 18863  AssAlgcasa 19309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-cring 18550  df-lmod 18865  df-assa 19312

This theorem is referenced by:  cpmadugsumlemB  20679