Theorem assa2ass 19322

Description: Left- and right-associative property of an associative algebra. Notice that the scalars are commuted! (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
assa2ass.v	|- V = ( Base ` W )
assa2ass.f	|- F = (Scalar ` W )
assa2ass.b	|- B = ( Base ` F )
assa2ass.m	|- .* = ( .r ` F )
assa2ass.s	|- .x. = ( .s ` W )
assa2ass.t	|- .X. = ( .r ` W )

Assertion

Ref	Expression
assa2ass	|- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. B /\ C e. B ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( A .x. X ) .X. ( C .x. Y ) ) = ( ( C .* A ) .x. ( X .X. Y ) ) )

Proof of Theorem assa2ass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. B /\ C e. B ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> W e. AssAlg )
2		simpr 477	. . . 4 |- ( ( A e. B /\ C e. B ) -> C e. B )
3	2	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. B /\ C e. B ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> C e. B )
4		assalmod 19319	. . . 4 |- ( W e. AssAlg -> W e. LMod )
5		simpl 473	. . . 4 |- ( ( A e. B /\ C e. B ) -> A e. B )
6		simpl 473	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> X e. V )
7		assa2ass.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
8		assa2ass.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
9		assa2ass.s	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
10		assa2ass.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` F )
11	7, 8, 9, 10	lmodvscl 18880	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A e. B /\ X e. V ) -> ( A .x. X ) e. V )
12	4, 5, 6, 11	syl3an 1368	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. B /\ C e. B ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( A .x. X ) e. V )
13		simpr 477	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. V ) -> Y e. V )
14	13	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. B /\ C e. B ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> Y e. V )
15		assa2ass.t	. . . 4 |- .X. = ( .r ` W )
16	7, 8, 10, 9, 15	assaassr 19318	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( C e. B /\ ( A .x. X ) e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( A .x. X ) .X. ( C .x. Y ) ) = ( C .x. ( ( A .x. X ) .X. Y ) ) )
17	1, 3, 12, 14, 16	syl13anc 1328	. 2 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. B /\ C e. B ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( A .x. X ) .X. ( C .x. Y ) ) = ( C .x. ( ( A .x. X ) .X. Y ) ) )
18	7, 8, 10, 9, 15	assaass 19317	. . . 4 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( C e. B /\ ( A .x. X ) e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( C .x. ( A .x. X ) ) .X. Y ) = ( C .x. ( ( A .x. X ) .X. Y ) ) )
19	18	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( C e. B /\ ( A .x. X ) e. V /\ Y e. V ) ) -> ( C .x. ( ( A .x. X ) .X. Y ) ) = ( ( C .x. ( A .x. X ) ) .X. Y ) )
20	1, 3, 12, 14, 19	syl13anc 1328	. 2 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. B /\ C e. B ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( C .x. ( ( A .x. X ) .X. Y ) ) = ( ( C .x. ( A .x. X ) ) .X. Y ) )
21	4	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. B /\ C e. B ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> W e. LMod )
22	5	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. B /\ C e. B ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> A e. B )
23	6	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. B /\ C e. B ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> X e. V )
24		assa2ass.m	. . . . . . 7 |- .* = ( .r ` F )
25	7, 8, 9, 10, 24	lmodvsass 18888	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( C e. B /\ A e. B /\ X e. V ) ) -> ( ( C .* A ) .x. X ) = ( C .x. ( A .x. X ) ) )
26	25	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( C e. B /\ A e. B /\ X e. V ) ) -> ( C .x. ( A .x. X ) ) = ( ( C .* A ) .x. X ) )
27	26	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( C e. B /\ A e. B /\ X e. V ) ) -> ( ( C .x. ( A .x. X ) ) .X. Y ) = ( ( ( C .* A ) .x. X ) .X. Y ) )
28	21, 3, 22, 23, 27	syl13anc 1328	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. B /\ C e. B ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( C .x. ( A .x. X ) ) .X. Y ) = ( ( ( C .* A ) .x. X ) .X. Y ) )
29	8	assasca 19321	. . . . . . . 8 |- ( W e. AssAlg -> F e. CRing )
30		crngring 18558	. . . . . . . 8 |- ( F e. CRing -> F e. Ring )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 |- ( W e. AssAlg -> F e. Ring )
32	31	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> F e. Ring )
33	2	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> C e. B )
34	5	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> A e. B )
35	10, 24	ringcl 18561	. . . . . 6 |- ( ( F e. Ring /\ C e. B /\ A e. B ) -> ( C .* A ) e. B )
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. B /\ C e. B ) ) -> ( C .* A ) e. B )
37	36	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. B /\ C e. B ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( C .* A ) e. B )
38	7, 8, 10, 9, 15	assaass 19317	. . . 4 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( ( C .* A ) e. B /\ X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( C .* A ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( C .* A ) .x. ( X .X. Y ) ) )
39	1, 37, 23, 14, 38	syl13anc 1328	. . 3 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. B /\ C e. B ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( C .* A ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( C .* A ) .x. ( X .X. Y ) ) )
40	28, 39	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. B /\ C e. B ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( C .x. ( A .x. X ) ) .X. Y ) = ( ( C .* A ) .x. ( X .X. Y ) ) )
41	17, 20, 40	3eqtrd 2660	1 |- ( ( W e. AssAlg /\ ( A e. B /\ C e. B ) /\ ( X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( A .x. X ) .X. ( C .x. Y ) ) = ( ( C .* A ) .x. ( X .X. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   LModclmod 18863  AssAlgcasa 19309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-cring 18550  df-lmod 18865  df-assa 19312

This theorem is referenced by:  cpmadugsumlemB  20679