Theorem chscllem3 28498

Description: Lemma for chscl 28500. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
chscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
chscl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
chscl.4	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
chscl.5	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
chscl.6	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
chscllem3.7	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
chscllem3.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
chscllem3.9	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵)
chscllem3.10	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = (𝐶 +ℎ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
chscllem3	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑛,𝑢   𝑛,𝐻,𝑢   𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐶(𝑢,𝑛)   𝐷(𝑢,𝑛)   𝐹(𝑢,𝑛)   𝑁(𝑢)

Proof of Theorem chscllem3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chscllem3.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐻‘𝑛) = (𝐻‘𝑁))
3	2	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)))
4		chscl.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑛)))
5		fvex 6201	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6282	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)))
7	1, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) = ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)))
8	7	eqcomd 2628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁))
9		chscl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
10		chscl.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
11		chsh 28081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Sℋ )
13		chsh 28081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
14	9, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Sℋ )
15		shocsh 28143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
17		chscl.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
18		shless 28218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
19	12, 16, 14, 17, 18	syl31anc 1329	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +ℋ 𝐴) ⊆ ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
20		shscom 28178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
21	14, 12, 20	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))
22		shscom 28178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
23	14, 16, 22	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)) = ((⊥‘𝐴) +ℋ 𝐴))
24	19, 21, 23	3sstr4d 3648	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
25		chscl.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
26	25, 1	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
27	24, 26	sseldd 3604	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴)))
28		pjpreeq 28257	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐻‘𝑁) ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐴))) → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁) ↔ ((𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))))
29	9, 27, 28	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((projℎ‘𝐴)‘(𝐻‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁) ↔ ((𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))))
30	8, 29	mpbid 222	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧)))
31	30	simprd 479	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)(𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))
32	14	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐴 ∈ Sℋ )
33	16	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (⊥‘𝐴) ∈ Sℋ )
34		ocin 28155	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
35	14, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
36	35	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
37		chscllem3.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
38	37	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐶 ∈ 𝐴)
39	17	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
40		chscllem3.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵)
41	40	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐷 ∈ 𝐵)
42	39, 41	sseldd 3604	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐷 ∈ (⊥‘𝐴))
43		chscl.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝𝑣 𝑢)
44	9, 10, 17, 25, 43, 4	chscllem1 28496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
45	44, 1	ffvelrnd 6360	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴)
46	45	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝐴)
47		simprl 794	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝑧 ∈ (⊥‘𝐴))
48		chscllem3.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
49	48	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐻‘𝑁) = (𝐶 +ℎ 𝐷))
50		simprr 796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))
51	49, 50	eqtr3d 2658	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐶 +ℎ 𝐷) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))
52	32, 33, 36, 38, 42, 46, 47, 51	shuni 28159	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → (𝐶 = (𝐹‘𝑁) ∧ 𝐷 = 𝑧))
53	52	simpld 475	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) ∧ (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) +ℎ 𝑧))) → 𝐶 = (𝐹‘𝑁))
54	31, 53	rexlimddv 3035	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐹‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∃wrex 2913   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℕcn 11020   +_ℎ cva 27777   ⇝_𝑣 chli 27784   S_ℋ csh 27785   C_ℋ cch 27786  ⊥cort 27787   +_ℋ cph 27788  0_ℋc0h 27792  proj_ℎcpjh 27794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-grpo 27347  df-ablo 27399  df-hvsub 27828  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-shs 28167  df-pjh 28254

This theorem is referenced by:  chscllem4  28499