Theorem climdivf 39844

Description: Limit of the ratio of two converging sequences. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climdivf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climdivf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climdivf.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
climdivf.4	⊢ Ⅎ𝑘𝐻
climdivf.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climdivf.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climdivf.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climdivf.8	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
climdivf.9	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
climdivf.10	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
climdivf.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climdivf.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
climdivf.13	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climdivf	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 / 𝐵))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climdivf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climdivf.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		climdivf.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
3		nfmpt1 4747	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))
4		climdivf.4	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐻
5		climdivf.5	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		climdivf.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		climdivf.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
8		climdivf.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
9		climdivf.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
10		climdivf.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
11		climdivf.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
12		climdivf.12	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
13		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
14	12	eldifad 3586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
15		eldifsni 4320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
16	12, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
17	14, 16	reccld 10794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (1 / (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
18		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))
19	18	fvmpt2 6291	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (1 / (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
20	13, 17, 19	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
21		fvex 6201	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ∈ V
22	5, 21	eqeltri 2697	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
23	22	mptex 6486	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘))) ∈ V
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘))) ∈ V)
25	1, 9, 3, 5, 6, 10, 11, 12, 20, 24	climrecf 39841	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘))) ⇝ (1 / 𝐵))
26		climdivf.11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
27	20, 17	eqeltrd 2701	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘) ∈ ℂ)
28		climdivf.13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)))
29	26, 14, 16	divrecd 10804	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) / (𝐺‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (1 / (𝐺‘𝑘))))
30	20	eqcomd 2628	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (1 / (𝐺‘𝑘)) = ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘))
31	30	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑘) · (1 / (𝐺‘𝑘))) = ((𝐹‘𝑘) · ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘)))
32	28, 29, 31	3eqtrd 2660	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) · ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (1 / (𝐺‘𝑘)))‘𝑘)))
33	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 25, 26, 27, 32	climmulf 39836	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 · (1 / 𝐵)))
34		climcl 14230	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
35	7, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
36		climcl 14230	. . . 4 ⊢ (𝐺 ⇝ 𝐵 → 𝐵 ∈ ℂ)
37	10, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
38	35, 37, 11	divrecd 10804	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
39	33, 38	breqtrrd 4681	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483  Ⅎwnf 1708   ∈ wcel 1990  Ⅎwnfc 2751   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941   / cdiv 10684  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687   ⇝ cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219

This theorem is referenced by:  stirlinglem8  40298  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427