Theorem climreeq 39845

Description: If 𝐹 is a real function, then 𝐹 converges to 𝐴 with respect to the standard topology on the reals if and only if it converges to 𝐴 with respect to the standard topology on complex numbers. In the theorem, 𝑅 is defined to be convergence w.r.t. the standard topology on the reals and then 𝐹𝑅𝐴 represents the statement "𝐹 converges to 𝐴, with respect to the standard topology on the reals". Notice that there is no need for the hypothesis that 𝐴 is a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climreeq.1	⊢ 𝑅 = (⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))
climreeq.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climreeq.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climreeq.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
climreeq	⊢ (𝜑 → (𝐹𝑅𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Proof of Theorem climreeq

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climreeq.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		climreeq.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
3		ax-resscn 9993	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
5	2, 4	fssd 6057	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℂ)
6		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7		climreeq.2	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
8	6, 7	lmclimf 23102	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
9	1, 5, 8	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))
10	6	tgioo2 22606	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
11		reex 10027	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ℝ ∈ V)
13	6	cnfldtop 22587	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
15		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	1	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
17	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
18	10, 7, 12, 14, 15, 16, 17	lmss 21102	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
19	18	pm5.32da 673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)))
20		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) → 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴)
21	1	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
22	9	biimpa 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
23	2	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
24	23	adantlr 751	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
25	7, 21, 22, 24	climrecl 14314	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
26	25	ex 450	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ))
27	26	ancrd 577	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴)))
28	20, 27	impbid2 216	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴))
29		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)
30		retopon 22567	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
32		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)
33		lmcl 21101	. . . . . . . 8 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
34	31, 32, 33	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
35	34	ex 450	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ))
36	35	ancrd 577	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)))
37	29, 36	impbid2 216	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
38	19, 28, 37	3bitr3d 298	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
39	9, 38	bitr3d 270	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴))
40		climreeq.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = (⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))
41	40	breqi 4659	. 2 ⊢ (𝐹𝑅𝐴 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(topGen‘ran (,)))𝐴)
42	39, 41	syl6rbbr 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝑅𝐴 ↔ 𝐹 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  ran crn 5115  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  ℂcc 9934  ℝcr 9935  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  (,)cioo 12175   ⇝ cli 14215  TopOpenctopn 16082  topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746  Topctop 20698  TopOnctopon 20715  ⇝_𝑡clm 21030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-fz 12327  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-lm 21033  df-xms 22125  df-ms 22126

This theorem is referenced by:  xlimclim  40050  stirlingr  40307