Theorem corclrcl 37999

Description: The reflexive closure is idempotent. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
corclrcl	⊢ (r* ∘ r*) = r*

Proof of Theorem corclrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrcl4 37968	. 2 ⊢ r* = (𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (𝑎↑𝑟𝑖))
2		dfrcl4 37968	. 2 ⊢ r* = (𝑏 ∈ V ↦ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑏↑𝑟𝑗))
3		dfrcl4 37968	. 2 ⊢ r* = (𝑐 ∈ V ↦ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑐↑𝑟𝑘))
4		prex 4909	. 2 ⊢ {0, 1} ∈ V
5		unidm 3756	. . 3 ⊢ ({0, 1} ∪ {0, 1}) = {0, 1}
6	5	eqcomi 2631	. 2 ⊢ {0, 1} = ({0, 1} ∪ {0, 1})
7		oveq2 6658	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑑↑𝑟𝑘) = (𝑑↑𝑟𝑗))
8	7	cbviunv 4559	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) = ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)
9		1ex 10035	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
10		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1))
11	9, 10	iunxsn 4603	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1)
12		ovex 6678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑↑𝑟𝑗) ∈ V
13	4, 12	iunex 7147	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) ∈ V
14		relexp1g 13766	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) ∈ V → (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1) = ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟1) = ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)
16	11, 15	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)
17	16	eqcomi 2631	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) = ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
18	8, 17	eqtri 2644	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) = ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
19		snsspr2 4346	. . . 4 ⊢ {1} ⊆ {0, 1}
20		iunss1 4532	. . . 4 ⊢ ({1} ⊆ {0, 1} → ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
21	19, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
22	18, 21	eqsstri 3635	. 2 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ⊆ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
23		c0ex 10034	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
24	23	prid1 4297	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
25		oveq2 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑑↑𝑟𝑘) = (𝑑↑𝑟0))
26	25	ssiun2s 4564	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ {0, 1} → (𝑑↑𝑟0) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘))
27	24, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑑↑𝑟0) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)
28		oveq2 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑑↑𝑟𝑗) = (𝑑↑𝑟𝑘))
29	28	cbviunv 4559	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) = ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)
30	29	eqimssi 3659	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)
31		unss12 3785	. . . 4 ⊢ (((𝑑↑𝑟0) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∧ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)) → ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∪ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘)))
32	27, 30, 31	mp2an 708	. . 3 ⊢ ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)) ⊆ (∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∪ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘))
33		df-pr 4180	. . . . 5 ⊢ {0, 1} = ({0} ∪ {1})
34		iuneq1 4534	. . . . 5 ⊢ ({0, 1} = ({0} ∪ {1}) → ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)
36		iunxun 4605	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖))
37		oveq2 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0))
38	23, 37	iunxsn 4603	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0)
39		vex 3203	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑑 ∈ V
40		0nn0 11307	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
41		1nn0 11308	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
42		prssi 4353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
43	40, 41, 42	mp2an 708	. . . . . . . 8 ⊢ {0, 1} ⊆ ℕ0
44		inidm 3822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({0, 1} ∩ {0, 1}) = {0, 1}
45	24, 44	eleqtrri 2700	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ({0, 1} ∩ {0, 1})
46	45	ne0ii 3923	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 1} ∩ {0, 1}) ≠ ∅
47		iunrelexp0 37994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 ∈ V ∧ {0, 1} ⊆ ℕ0 ∧ ({0, 1} ∩ {0, 1}) ≠ ∅) → (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑↑𝑟0))
48	39, 43, 46, 47	mp3an 1424	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟0) = (𝑑↑𝑟0)
49	38, 48	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = (𝑑↑𝑟0)
50	49, 16	uneq12i 3765	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑖 ∈ {0} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ∪ ∪ 𝑖 ∈ {1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖)) = ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗))
51	36, 50	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ ({0} ∪ {1})(∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗))
52	35, 51	eqtri 2644	. . 3 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) = ((𝑑↑𝑟0) ∪ ∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗))
53		iunxun 4605	. . 3 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {0, 1})(𝑑↑𝑟𝑘) = (∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘) ∪ ∪ 𝑘 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑘))
54	32, 52, 53	3sstr4i 3644	. 2 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ {0, 1} (∪ 𝑗 ∈ {0, 1} (𝑑↑𝑟𝑗)↑𝑟𝑖) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {0, 1})(𝑑↑𝑟𝑘)
55	1, 2, 3, 4, 4, 6, 22, 22, 54	comptiunov2i 37998	1 ⊢ (r* ∘ r*) = r*

Syntax hints:   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177  {cpr 4179  ∪ ciun 4520   ∘ ccom 5118  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937  ℕ₀cn0 11292  ↑_𝑟crelexp 13760  r*crcl 37964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-relexp 13761  df-rcl 37965

This theorem is referenced by:  corclrtrcl  38033  cortrclrcl  38035